Aire maximale de losange

Bonjour je dois rendre mon DM dans une semaine, je sais je m'y prends tôt mais je pense avoir eu raison car je ne comprends pas du tout...

Parmi les losanges de périmètre donné, en existe t il dont l'aire est maximale ?
Voici la question.

Pour cela j'ai calculé l'aire du losange en fonction de deux variables représentant les diagonales :
A = (x*z )/2

et le pérmiètre :
P= √ (x/2)²+ (z/2)²
p= √(x²+z²) /4

cependant que faire ensuite si ce que j'ai fait est juste ? Merci pour votre aide

Bonjour,
Attention, ton calcul de p est en fait celui d'un seul des côtés du losange.
Mais l'idée est ici d'utiliser la trigonométrie :
Le point de coordonnées (x,z) est situé sur un cercle.

Merci de me répondre si rapidement :
Ah d'accord donc
P= (√(x²+z²)/4)*4 le 4 s'annule et il reste P = √x²+z²

Oui je crois avoir vu ce qu'il signifiait avec geogébra mais comment continuer alors je ne comprends toujours pas ?

Non, x et z sont bien les diagonalesentières du losange ? Dans ce cas, le 4 est sous le radical et si on le sort, on a un dénominateur 2, qui se simplifie avec le nouveau 4.
Sauf erreur de ma part (vérifie !) p = 2√(x²+z²).
Donc, le point M = (x,z) est situé sur le cercle de centre O (origine des axes) et de rayon p/2 (puisqu'il est constant).
Fais une figure, pose x = (p/2).cos α , z = (p/2).sin α , et n'oublie pas que x et z sont positifs : le point est situé dans le premier quadrant.

Ah oui ! Vous vous aviez raison pour le périmètre !

Je m'excuse mais je ne comprends pas pourquoi prendre pi/2 comme rayon et que signifie "puisqu'il est constant" ? et aussi que représente le a dans votre calcul ?
Car dans un autre j'avais vu qu'il fallait faire :

Soit un losange d'aire A de diagonales de longueurs x et y. Exprimer l'aire A en fonction de x et y.
Exprimer le périmètre h en fonction de x et y.
En déduire y en fonction de x, puis l'aire A en fonction de x.
Déterminer le sens de variation de la fonction ``aire'' A(x). En déduire la réponse à la question.

cela revient au même ?

Pas pi/2, mais p/2 : c'est ce nombre qui est constant puisque le périmètre est donné. La distance OM vaut √(x²+z²) = p/2.
M est donc situé sur le cercle de centre O et de rayon p/2.

Fais une figure : α désigne l'angle entre OM et l'axe des x.
L'autre méthode donne des calculs plus longs.

Je reviens.

Ah oui pardon je comprends mieux maintenant

Mais alors, l'aire est maximale lorsque l'abscisse de M vaut cos a soit 0 et lorsque son ordonnée vaut le rayon donc = p/2 ou √x²+z²
Non ? (désolée si je ne comprends pas tout ce que vous me dites..)

Non : avec ce que tu proposes, ce serait z qui serait maximum et non l'aire.

Exprime l'aire en fonction de a :
x = (p/2).cos a, et z = (p/2).sin a
Donc A = xz/2 = (p²/4).cos a.sin a.
Regarde le produit du cosinus et du sinus : tu ne reconnais pas une formule trigonométrique ?
Tu dois savoir exprimer sin 2a en fonction de sin a et cos a ?

1/ j'ai refais le calcul de l'aire mais moi je trouve (p²/4).cos a.sin a. le tout divisé par 2 ?

2/ Non je regarde mais je ne vois pas ce type de formule dans mon cours mais j'ai trouvé sur internet sin a .cos b = 1/2 [ sin (a+b) + sin (a-b) ]
et sur le formulaire de maths foru
j'ai trouvé :
sin(2a) = 2sin(a)cos(a)
Je pense qu'il faut les utiliser ?

Citation
(p²/4).cos a.sin a. le tout divisé par 2Oui, tu as raison.

C'est la seconde formule qu'il faut utiliser ici sin (2a) = 2.sin a.cos a
Tu ne l'a pas apprise en cours ?
sin (a+b) non plus ?

Non je n'ai pas vu cette formule mais des formules comme cos (pi + x ) .. Mais c'est pas grave je peux l'appliquer quand même cependant cet exercice se trouvait dans le chapitre dérivée du livre c'est pour ça que je pensais faire un tableau de variation mais je ne savais pas qu'elle fonction utiliser

S'il s'agit du devoir à rendre, tu dois utiliser les méthodes vues en cours.
Mais puisqu'on a commencé, continuons avec les angles.
N'oublie pas que x et z sont positifs (ce sont des longueurs).
Donc a est compris entre 0 et pi/2, et 2a entre 0 et pi.
L'aire A vaut (p²/4).(cos a.sin a)/2 = (p²/4) sin (2a)/4.
Elle est maximum lorsque 2a vaut pi/2, c'est-à-dire lorsque a vaut pi/4.
Il est alors aisé de voir que ce maximum a lieu lorsque x et z sont égaux (donc lorsque le losange est un carré), et que ce maximum vaut p²/16.

Maintenant, tu peux utiliser l'autre méthode : tu as toujours p = 2√(x²+z²)
et donc z² = p²/4 - x².
D'où z (il est positif).
D'où l'aire en fonction de x : que trouves-tu ?

Je regarderai avec les angles plus tard je ferais mieux de faire à l'aide de la deuxième méthode

1/ comment avez vous trouvé que z²= p²/4 - x² je n'arrive pas à retrouver votre simplification ?

2/ je trouve A = √ (p²/4 -x²) *x / 2
C'est cela ?

p = 2√(x²+z²)
On élève au carré : p² = 4(x²+z²)
On divise par 4 : p²/4 = x²+z²
Et donc par soustraction z² = p²/4 - x²
Oui, c'est juste.
Maintenant, tu as besoin de la dérivée.

Oh d'accord merci !

ca se complique encore
Je pense qu'il faut dire :
A (√p²/4 -x²) *x /2

U et √U ont le même sens de variation
U : p²-x² /4 (je multiplie par 4) = 2p-2x
A'(x) = 2p -2x *1 est la dérivée ? je ne suis absolument pas sure ?

Citation
A (√p²/4 -x²) *x /2Attention, le radical couvre aussi -x² :
A = (√(p²/4-x²))*x/2
Ensuite, tu oublies que ton √U est multiplié par x/2.
Tu dois prendre la dérivée d'un produit, l'un des facteurs étant la racine carrée, et l'autre étant x/2.
C'est uniquement calculatoire, mais il faut être prudent car une erreur est vite arrivée.
Je vais maintenant me déconnecter.
On verra la suite demain si personne d'autre ne t'aide d'ici là.