Convergence

Bonjour,
Je beug sur un exo:
f(x)=∫(ln(1+(xt)^2))/(1+t^2)dt borne de 0 à +oo
Montrer que pour tout a>0 la fonction f est définie et continue sur [0,a]. En conclure que f est définie et continue sur [0, +oo[
Pour moi il faut montrer la convergence de cette intégrale, mais je n'ai pas réussi
Help please
Merci d'avance

J'ai réussi à démontrer que f est défini en passant par la dérivabilité.
Maintenant on me demande de montrer que f est de classe C1 sur ]a;b[ avec 0<a<b puis sur ]0,+oo[

Bonjour mathos92340,

Démontre que f' est continue sur l'intervalle.

Sur les 2 intervalle ca reviendra au même n'est ce pas ?

Oui

maintenant je pose g(x,t)=(ln(1+(xt)^2))/(1+t^2)
je calcule d(g(x,t))/dx=2xt^2/((1+(xt)^2)(1+t^2)
on me demande de calculer f'(x) en décomposant en éléments simple soit f'(x)= ∫ 2xt^2/((1+(xt)^2)(1+t^2) dt
Je ne sais pas comment faire pour décomposer en élément simple

Tu peux écrire :
2xt^2/((1+(xt)^2)(1+t^2) = 2xt²/(x²-1) [x²/(1+x²t²) -1/(1+t²)]

Je vois pas comment intégrer 2xt²/(x²-1) [x²/(1+x²t²) -1/(1+t²)] de 0 à +oo dt

Décompose en deux parties puis fait un changement de variable u = xt par exemple.

Je dois décomposer en 2 parties.. c'està dire développer ?

2xt²/(x²-1) [x²/(1+x²t²) -1/(1+t²)]=
2x³t²/(x²-1) (1+x²t²) - 2xt²/(x²-1)(1+t²)

Okay donc pour le premier morceau j'ai réussi a calculer l'intégrale avec comme changement de variable u=(xt)^2
Mais jsuis bloqué pour le 2eme morceau soit l'intégrale de 2xt^2/((x^2-1)(1+t^2)) dt

Tu écris pour le numérateur :
2xt² = 2xt²+2x - 2x = 2x(1+t²) - 2x

Puis tu intègres;