intégrale 1

bonjour,

j'ai un souci avec cette intégrale. Je ne sais pas par où débuter !
démontrer que

∫sin x cos 3x dx = 1/2(-1/4cos 4x + 1/2 cos 2x) + c

Je sais que cos 3x = 4cos³ x-3cos x

donc j'obtiens ∫ sin x (4 cos ³x-3cos x)
soit 4∫sinx . cos³ x dx-3∫ sin x . cos x dx

je pose cos x = t
-sin x dx = dt

j'obtiens alors -4 ∫ t³ dt + 3 ∫ t dt
donc j'obtiens

-4/4 t (exp4) + 3/2 t²

-4/4 cos (exp4) x + 3 cos ² x
donc
cos (exp4) x + 3 cos ² x

(cos ² x)² + 3 cos ² x

faut il utiliser cos²x =( 1 + cos 2x)/2 ???et développer

merci

Bonjour,

Le plus simple est de passer par les formules d'addition

sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
sin(a-b)=sinacosb-sinbcosa

En ajoutant membre à membre et en simplifiant par 2

$sinacosb=12(sin(a+b)+sin(a−b))sinacosb=\frac{1}{2}(sin(a+b)+sin(a-b))$

Tu appliques cette formule avec a=x et b=3x

Tu dois obtenir :

$sinxcos(3x)=12(sin(4x)−sin(2x))sinxcos(3x)=\frac{1}{2}(sin(4x)-sin(2x))$

Tu utilises ensuite les primitives usuelles et ça marche !

merci

De rien !