Voilà une question qui m'a posé problème lors de mon dernier partiel!Si quelqu'1 peut me dire comment il fallait faire!
Voilà les données et la question:
Soit A une matrice carrée d'ordre n telle que :
A² = (alpha)A + (béta)In
où (alpha) et (béta) sont des nombres réels
Question:
En raisonnant par récurrence, montrer que:
quelques soit p appartenant au entier naturel(p>= 2), il existe un couple ((alpha)indice p ; (béta)indice p) appartenant à R²(ensemble des réels) tels que: A^p(puissance p) = ((alpha)indice p)A + ((béta)indice p)In
Cette question m'a profondément emmerdé(excusez cette expression), je sais que la réponse est toute bète mais impossible de la voir!
Merci d'avance
Nelly
:?
Pourtant effectivement c pa bien dur ....
Je montre que pour tout k >= 2, il existe un couple de reels (Uk,Vk) tels que A^k = Uk*A+Vk * In (en fait je remplace alpha par U et beta par V : Uk est ton alpha indice k et Vk ton beta indice k mais c plus simple les notations apres ...).
- Cas de base : C'est evident pour k = 2, puisque d'apres l'enonce, A^2 = U * A + V * In.
- Supposons que A^k = Uk * A + Vk * In.
- Alors A^(k+1) = A * A^k = A * (Uk * A + Vk * In)
= Uk * A^2 + Vk * A
= Uk * (U * A + V * In) + Vk * A
= U * Uk * A + V * Uk * In + Vk * A
= (U * Uk + Vk) * A + (V * Uk) * In,
et donc Uk+1 = U * Uk + Vk et Vk+1 = V * Uk ....
J'espere que c'est clair....
