En utilisant la méthode du taux d’accroissement, prouver qu'une fonction est dérivable


  • P

    Bonjour, voici un exercice de dérivation :

    w : ]0;+∞[ → R
    x→ 2x−4/x²

    1)En utilisant la méthode du taux d’accroissement, prouver que la fonction w est dérivable en 1 et que
    w′ (1) = 6
    2) Déterminer l’équation de la tangente à Cw au point d’abscisse 1
    3) Exprimer la fonction dérivée de w sur ]0;+∞[ et retrouver w′(1)

    Merci de m'aider.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Deux précisions à donner

    1. est-ce

    f(x)=2x−4x2f(x)=\frac{2x-4}{x^2}f(x)=x22x4

    ou

    f(x)=2x−4x2f(x)=2x-\frac{4}{x^2}f(x)=2xx24

    Comme tu n'as pas mis de parenthèses, il y a doute.

    1. Dans ton cours, comment est exprimé le taux d’accroissement?

    Est-ce

    f(x)−f(a)x−a\frac{f(x)-f(a)}{x-a}xaf(x)f(a)

    ou

    f(a+h)−f(a)h\frac{f(a+h)-f(a)}{h}hf(a+h)f(a)

    Merci pour ces précisions.


  • P

    Bonjour, alors c'est le premier c'est à dire : f(x) = (2x-4)/x²

    Sinon c'est f(a+) - f(a)/h


  • mtschoon

    Lance toi dans les calculs

    Ici a=1

    f(1+h)=2(1+h)−4(1+h)2=2h−2(1+h)2f(1+h)=\frac{2(1+h)-4}{(1+h)^2}=\frac{2h-2}{(1+h)^2}f(1+h)=(1+h)22(1+h)4=(1+h)22h2

    f(1)=−2f(1)=-2f(1)=2

    f(1+h)−f(1)h=2h−2(1+h)2+2h=2h−2+2(1+h)2(1+h)2h=2h−2+2(1+h)2h(1+h)2\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{\frac{2h-2}{(1+h)^2}+2}{h}=\frac{\frac{2h-2+2(1+h)^2}{(1+h)^2}}{h}={\frac{2h-2+2(1+h)^2}{h(1+h)^2}}hf(1+h)f(1)=h(1+h)22h2+2=h(1+h)22h2+2(1+h)2=h(1+h)22h2+2(1+h)2

    Tu développes le numérateur , tu mets h en facteur au numérateur

    Tu pourras ainsi simplifier par h

    Tu dois trouver après simplification :

    f(1+h)−f(1)h=2h+6(1+h)2\frac{f(1+h)-f(1)}{h}=\frac{2h+6}{(1+h)^2}hf(1+h)f(1)=(1+h)22h+6

    Pour avoir le nombre dérivé, tu fais tendre h vers 0


  • P

    Merci.


  • mtschoon

    De rien !


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