Suite 3

Bonjour, j'ai encore une fois un exercice de suite que voici :
On considère la suite (tn)n∈N définie par tn = −2n² + 5n −3

déterminer le sens de variation de la suite (tn)n∈N (fonction associée ou directement le signe de tn+1−tn)
Déterminer le premier entier n pour lequel tn < −2278 et calculer le terme correspondant.
Quelle limite peut-on conjecturer pour la suite (tn)n∈N ?

Merci de m'aider.

Bonjour,

Idées pour démarrer,

L'énoncé te laisse le choix.

$t_n$ =-2n²+5n-3

Par exemple, tu posesf(x)=-2x²+5x-3

f est une fonctionpolynôme du second degré.

Tu dois connaître son sens de variation (sur R+)

Tu résous, pour n ∈ N, l'inéquation

-2n²+5n-3 < -2278 <=> -2n²+5n-3 + 2278 < 0 <=>-2n²+5n+ 2275 < 0

(Inéquation du second degré)

Tiens nous au courant de ce que tu trouves.

Bonjour

Je pense que pour f(x)=-2x²+5x-3
comme a < 0 la représentation est une parabole tournée vers le bas donc décroissante jusqu'au sommet (-b/2a)= 5/4 puis croissante.
-2n²+5n+ 2275 < 0 on trouve avec le delta, x=35, qui donne en remplaçant par n, -2278.

C'est correct?

Tu te trompes dans le sens de variation de f

f est croissante jusqu'à x=5/4 puis décroissante ensuite.

Il faut ensuite que tu en tires les conclusions pour la suite avec x=n, n ∈ N.

attention !

n=35 est la solution ( pour n ∈ N ) de l'équation -2n²+5n+ 2275 = 0

Il faut ensuite trouver le signe du polynôme -2n²+5n+ 2275

Donc pour tout n ∈ N, la suite strictement croissante jusqu'à tn=1/8 et décroissante après.
le signe de -2n²+5n+ 2275 est négatif à l’extérieur des racines non ? Pourquoi trouver le signe ?
Aucunes idées.

Pour le sens de variation, c'est de n dont-il faut parler.

Jusqu'à n=1 ( c'est à dire entre n=0 et n=1), la suite est croissante et ensuite, pour n supérieure à 1 , elle est décroissante.

(U0=-3, U1=0, U2=-1, ...)

Il faut chercher n tel que -2n²+5n+ 2275 soit strictement négatif.
C'est donc dusigne dont il s'agit.

Ton idée est bonne : -2n²+5n+ 2275 est négatif à l’extérieur des racines.
Il faut que tu en tires la conclusion

Les solutions de l'équation sont 35 et -32.5.
Donc, sur N, l'inéquation -2n²+5n+ 2275 < 0 est vraie pour n > 35.
La première valeur qui convient est donc n=...

La conjecture de la question 3) est la conséquence du sens de variation de la suite et de la réponse à la question 2) .

Jusqu'à n=1, la suite est croissante et ensuite, pour n supérieure , elle est décroissante. Mais à quoi à servi de calculer x=5/4 ?

Si -2n²+5n+ 2275 est négatif à l’extérieur des racines alors le premier entier n pour lequel tn < −2278 est 36 si on part de l'équation -2n²+5n+ 2275 = 0 (et donc d'une racine) ?

Citation
Mais à quoi à servi de calculer x=5/4
Tu n'as donc pas bien compris la démarche.

Sur R, la fonction f est croissance jusqu'à x=5.4=1.25, puis ensuite elle est décroissante.
Tu en déduis le sens de variation pour x=n avec n ∈ N

Oui la première valeur de n satisfaisante est bien n=36 et $t_{36}$ =-2415

Donc,

Pour n ≥ 36, $t_n$ ≤ -2415 et la suite est décroissante.

Tu peux ainsi conjecturer ce que fait la suite lorsque n tend ver +∞

lorsque n tend ver +∞ elle décroit ?

Oui elle décroit (déjà dit) mais trouve mieux.

Tu sais aussi que pour n ≥ 36, $t_n$ ≤ -2415

si tu observes à la calculette:

$t_{100}$ ≈ -20000
$t_{1000}$ ≈ -2000000

Alors, tu peux conjecturer que $t_n$ tend vers ........

tn tend vers -2x10n, non franchement je sais pas.

Conjecture : $t_n$ tend vers -∞ lorsque n tend vers +∞

Si j'ai bien compris, vu que n tend ver +∞, tn tend vers -∞ (suite décroissante).
Je vois, merci beaucoup!

Fais attention tout de même..

Une suite peut être décroissante sans pour autant tendre vers -∞

Ici, lorsque n prend des valeurs positives de plus en plus grandes, $t_n$ prend des valeurs négatives, de plus en plus grandes en valeurs absolues.
(je te donne un autre exemple : pour n=5000, $t_n$ ≈ -50000000)

Oui cela dépend de la suite, merci.

De rien,

Bon travail.