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Demonstration de la derivé de la fonction racine carré |
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Envoyé: 14.01.2006, 15:05
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enregistré depuis: jan. 2006
Messages: 2
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dernière visite: 15.01.06
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Bien le bonjour tt le monde
Voila il se trouve que pour un exercice de mon prochain DM de math je doit appliquer quelque chose de trés semblable a ce qu'on applique a la fonction racine carré lorsqu'on cherche sa derivé probleme mon professeur ne nous a donné que le resultat final c'est a dire
F'(  x)=1/2 x
J'ai essayé de retrouvé cela en appliquant la formule de base mais je me retrouve tout de suite devant une difficulté que je n'arrive pas a surmonté en effet sa me donne
(x+h)- (a)/h
si vous pourriez me donner une demonstration complete en me montrant se que vous barrer a chaque que je ne soit pas larguer en cour de route et que je comprenne tout avec satisfaction je vous en serais reconnaissant.
Je repasserais dans 1 ou 2 heure pour voir si quelqu'un ma repondu car j'ai pas mal de travail je vous remerci d'avance a plus tard ^_-
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Envoyé: 14.01.2006, 18:43
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Modérateur
enregistré depuis: jun. 2005
Messages: 1234
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dernière visite: 19.11.08
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Salut.
Je reprends à zéro:
On cherche à trouver la forme générale de la dérivée de la fonction racine carrée.
Soit f:x→√(x), et f':x→f'(x) sa dérivée.
Je passe sur les problèmes de définition.
Par définition, la dérivée de f en un point a(>0 ici, mais on verra plus tard pourquoi), est:
f'(a)=limx→a(f(x)-f(a))/(x-a)
f'(a)=limx→a(√(x)-√(a))/(x-a)
Là on utilise une astuce!
(x-a)=(√(x)-√(a))(√(x)+√(a)) une identité remarquable bien connue, qui est utilisable car x et a sont strictement positifs.
Donc :
f'(a)=limx→a(√(x)-√(a))/[(√(x)-√(a))(√(x)+√(a))]
On simplifie au numérateur et au dénominateur par (√(x)-√(a)), ce qui nous donne:
f'(a)=limx→a1/(√(x)+√(a))
D'où, comme x tend vers a:
f'(a)=1/(2√(a))
Il est maintenant clair que a>0. Je n'ai fait que les calculs ci-dessus. Les quelques petits points à préciser pour faire une démonstration correcte sont omis volontairement. Ce qui compte c'est l'idée.
@+
Une remarque tout de même: √(x)=x1/2.
Comme 1/2 est rationnel, on peut se ramener à la dérivée des fonctions puissance en fait!
On descend l'exposant, et on ôte 1 à l'exposant: (1/2)*x-1/2 =(1/2)*/√(x). D'où le résultat.
Ca t'aidera à t'en souvenir.
modifié par : Jeet-chris, 14 Jan 2006 @ 19:41
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Envoyé: 15.01.2006, 08:55
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enregistré depuis: jan. 2006
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dernière visite: 15.01.06
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excuse moi de ne pas avoir repondu plus tot mais je tient a te remercier sa a due te prendre du temps a tapper mais l'essentiel c'est que j'ai absolument tout compris en faites toute l'astuce etait dans l'utilisation de l'identité remarquable
Encore merci salut !
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