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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
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Demonstration de la derivé de la fonction racine carré

- classé dans : Dérivation & applications

Envoyé: 14.01.2006, 15:05



enregistré depuis: janv.. 2006
Messages: 2

Status: hors ligne
dernière visite: 15.01.06
Bien le bonjour tt le monde

Voila il se trouve que pour un exercice de mon prochain DM de math je doit appliquer quelque chose de trés semblable a ce qu'on applique a la fonction racine carré lorsqu'on cherche sa derivé probleme mon professeur ne nous a donné que le resultat final c'est a dire
F'( racinex)=1/2 racinex
J'ai essayé de retrouvé cela en appliquant la formule de base mais je me retrouve tout de suite devant une difficulté que je n'arrive pas a surmonté en effet sa me donne
racine(x+h)- racine(a)/h
si vous pourriez me donner une demonstration complete en me montrant se que vous barrer a chaque que je ne soit pas larguer en cour de route et que je comprenne tout avec satisfaction je vous en serais reconnaissant.

Je repasserais dans 1 ou 2 heure pour voir si quelqu'un ma repondu car j'ai pas mal de travail je vous remerci d'avance a plus tard ^_-
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Envoyé: 14.01.2006, 18:43

Modérateur


enregistré depuis: juin. 2005
Messages: 1469

Status: hors ligne
dernière visite: 24.02.13
Salut.

Je reprends à zéro:

On cherche à trouver la forme générale de la dérivée de la fonction racine carrée.

Soit f:x→√(x), et f':x→f'(x) sa dérivée.

Je passe sur les problèmes de définition.

Par définition, la dérivée de f en un point a(>0 ici, mais on verra plus tard pourquoi), est:

f'(a)=limx→a(f(x)-f(a))/(x-a)
f'(a)=limx→a(√(x)-√(a))/(x-a)

Là on utilise une astuce!

(x-a)=(√(x)-√(a))(√(x)+√(a)) une identité remarquable bien connue, qui est utilisable car x et a sont strictement positifs.

Donc :

f'(a)=limx→a(√(x)-√(a))/[(√(x)-√(a))(√(x)+√(a))]

On simplifie au numérateur et au dénominateur par (√(x)-√(a)), ce qui nous donne:

f'(a)=limx→a1/(√(x)+√(a))

D'où, comme x tend vers a:

f'(a)=1/(2√(a))

Il est maintenant clair que a>0. Je n'ai fait que les calculs ci-dessus. Les quelques petits points à préciser pour faire une démonstration correcte sont omis volontairement. Ce qui compte c'est l'idée.

@+

Une remarque tout de même: √(x)=x1/2.
Comme 1/2 est rationnel, on peut se ramener à la dérivée des fonctions puissance en fait!
On descend l'exposant, et on ôte 1 à l'exposant: (1/2)*x-1/2 =(1/2)*/√(x). D'où le résultat.
Ca t'aidera à t'en souvenir.



modifié par : Jeet-chris, 14 Jan 2006 @ 19:41
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Envoyé: 15.01.2006, 08:55



enregistré depuis: janv.. 2006
Messages: 2

Status: hors ligne
dernière visite: 15.01.06
excuse moi de ne pas avoir repondu plus tot mais je tient a te remercier sa a due te prendre du temps a tapper mais l'essentiel c'est que j'ai absolument tout compris en faites toute l'astuce etait dans l'utilisation de l'identité remarquable
Encore merci salut !
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