Etudier la fonction aire d'un triangle


  • E

    Bonsoir, j'ai un petit exercice illustré sur feuille que je n'arrive pas à faire. Si vous pouvbiez m'aider ce serait gentil :

    Dans un quart de disque, un point M est mobile sur un segment [AB]. N est le point de l'arc de cercle de BC ( C vient du segment AC ( je le précise car vous n'avez pas l'image devant vous)) tel que le triangle AMN soit rectangle en M.
    On s'intéresse à l'aire du triangle AMN lorsque M décrit [AB].
    On prend AB comme unité de longueur (AB=1)

    On pose AM = x. Soit f la fonction qui à x associe l'aire du triangle AMN.

    1. Dans quel intervalle, la variable x peut-elle prendre ses valeurs ?
    2. Exprimer en fonction de x la distance MN.
    3. Retrouver alors l'expression de f(x) = x/2 racine carrée de 1 -x²
    4. Montrer que pour tout x, (f(x))² -(1/4)² = -1/16 (2x²-1)²
    5. En déduire que pour tout x, f(x) est inférieur ou égal à (1/4)
    6. Calculer f(racine carré de 2 / 2) et conclure.

    Merci d'avance,

    1. L'intervalle [0;1]

    2. Théorème de Pythagore : 1-x² = MN²

    3. Pour celui-ci je ne sais pas si il faut remplacer x par 1. Merci d'avance pour vos réponses.

    Et le reste je n'ai pas compris comment faire ^^


  • mtschoon

    Bonsoir,

    Ce serait bien de mettre le graphique (seulement le graphique).

    Pour cela, clique sur "Ajoute une image" en dessous du cadre texte et suis les indications.


  • mtschoon

    Est-ce cela la figure ?

    fichier math

    Si c'est cela, je regarde tes réponses.

    Oui pour 1) et pour 2)

    1. AM=x

    f(x)=aire(AMN)=AM×MN2=x×1−x22f(x)=aire(AMN)=\frac{AM \times MN}{2}=\frac{x\times \sqrt{1-x^2}}{2}f(x)=aire(AMN)=2AM×MN=2x×1x2


  • E

    pour la 4 du coup je développe mais j'vois pas comment merci énormément de ton aide ! oui pour la figure


  • mtschoon

    Tu n'as pas répondu à ma question...j'espère donc que le graphique que je t'ai proposé est le bon ( mais une autre fois, il faudra le faire).

    Prends le temps de réfléchir.

    $\text{(f(x))^2-(\frac{1}{4})^2=\frac{x^2(1-x^2)}{4}-\frac{1}{16}$

    Tu réduis au même dénominateur 16 et tu transformes le numérateur.


  • E

    Hmmm.. après réfléxion cela fait

    4x²(4-4x²) / 16 - 1/16

    Donc, 4x²(4-4x²)-1 / 16

    Désolé si c'est pas ça mais j'suis pas très fort en maths 😕

    (Sinon pour le graphique je l'avais fait mais je pensais qu'il était interdit de poster des images)


  • mtschoon

    non, car tu as multiplié deux fois par 4

    $\text{(f(x))^2-(\frac{1}{4})^2=\frac{4x^2(1-x^2)-1}{16}=\frac{4x^2-4x^4-1}{16}$

    Maintenant, tu mets -1/16 en facteur.

    En ce qui concerne les images, je le joins quelques consignes :
    Citation
    Dans quels cas les scans sont-ils autorisés dans le forum ?
    Pour des raisons de droits, l'affichage de scans de documents n'est pas autorisé dans le forum, sauf pour des figures ou des tableaux indispensables à la compréhension de l'exercice. Les liens vers des pages internet contenant le sujet scanné sont également interdits.


  • E

    comment ca ?! ( dsl j'suis très nul en maths )


  • mtschoon

    $\text{\frac{4x^2-4x^4-1}{16}=-\frac{1}{16}(.....................)$

    Essaie de réfléchir à ce qu'il faut mettre à la place des pointillés.


  • E

    4x²-4x(puissance 4) ?


  • mtschoon

    Non.

    Pense au signe "-" qui est en facteur et n'oublie pas le "1" que tu sembles avoir perdu.


  • E

    -4x²-4x(puissance 4)-1 ?


  • mtschoon

    Il y a encore des erreurs dans les signes. Regarde de près.


  • E

    -4x²-4x(puissance 4)+1


  • E

    on fini ca rapidement en faisant le 5) et 6) comme ça j'pars me coucher


  • mtschoon

    Citation
    on fini ca rapidement en faisant le 5) et 6)

    ? ? ? ! ! !

    Avant la 5) et la 6), il faut queTU commences à faire la 4) correctement.

    Pour ta dernière réponse : tu as supprimé une erreur de signes, mais il en reste une.

    Continue de regarder de près les signes.

    Ce n'est pas difficile .

    A cause du "moins" qui est mis en facteur, tu dois changer TOUS les signes de 4x2−4x4−14x^2-4x^4-14x24x41

    Remarque : si ça t'arrange, je te mets le plan de travailpour la fin:

    Lorsque tu auras démontré que (f(x))2−(14)2=−116(2x2−1)2(f(x))^2-(\frac{1}{4})^2=-\frac{1}{16}(2x^2-1)^2(f(x))2(41)2=161(2x21)2,
    tu pourras déduire que (f(x))2−(14)2≤0(f(x))^2-(\frac{1}{4})^2\le 0(f(x))2(41)20
    donc (f(x))2≤(14)2(f(x))^2\le (\frac{1}{4})^2(f(x))2(41)2
    donc f(x)≤14f(x) \le \frac{1}{4}f(x)41
    Vu quef(22)=14f(\frac{\sqrt 2}{2})=\frac{1}{4}f(22)=41, l'aire maximale du triangle AMN sera obtenue pourx=22x=\frac{\sqrt 2}{2}x=22

    Bon travail !


  • E

    merci énormément ! j'ai fais la même chose avant de voir ce message, ca confirme mes calculs 😁


  • mtschoon

    De rien !

    A+


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