Pythagore, trigonométrie, Thalès...


  • L

    Bonjour à nouveau,

    Je continue sur ma lancée en postant le deuxième exercice de mon DM. Celui-ci est
    plus basé sur de la géométrie.

    ABC est un triangle rectangle en B.
    H est le pied de la hauteur issue de B.

    On donne : AB = 8 cm
    BH = 4 cm
    bca^\hat{bca}bca^ = 60 °

    fichier math

    1/ Calculer, en centimètres, la mesure du segment [AH], arrondie au mm.
    2/ Calculer, en centimètres, la mesure du segment [HC], approchée à 0,1, par défaut.
    3) Soit J le point du segment [AC] tel que ajac=14\frac{aj}{ac}=\frac{1}{4}acaj=41
    La parallèle à la droite (BC) passant par J coupe le segment [AB] en K. Expliquer pourquoi AK= 2 cm.

    La question 1/ j'ai utilisé Pythagore dans le triangle BAH, en démontrant par la
    définition d'une hauteur, l'angle droit en H. J'ai trouvé environ 6,9 cm.

    Pour la question 2/ j'ai utilisé la tangente et j'ai trouvé environ 2,3.

    Par contre, pour la question 3, je n'ai rien trouvé. En imaginant où se situe le point J, j'imagine qu'il faut utiliser Thalès, mais au moment où il faut prouver que (KJ) // (BC)
    je cale...

    Merci d'avance.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Oui pour tes deux premières réponses.

    Piste pour la fin:

    Connaissant AH et HC, tu peux déduire AC : AC ≈ 9.2 cm

    aj=14acaj=\frac{1}{4}acaj=41ac

    Tu peux donc trouver AJ

    Avec le théorème de Thalès

    ajac=akab\frac{aj}{ac}=\frac{ak}{ab}acaj=abak

    En remplaçant AJ, AC, AB par leurs valeurs, tu trouveras AK


  • L

    Ah d'accord ! C'est parfait, puisqu'en faisant le produit en croix : 2,39,2=ak8\frac{2,3}{9,2}=\frac{ak}{8}9,22,3=8ak on obtient bien 2 cm !

    Eh bien merci une nouvelle fois ! 😄


  • mtschoon

    De rien !

    Une remarque :

    Vu que l'on te demande des valeurs approchées, c'est pour s'en servir et on trouve bien ainsi AK=2cm

    Bien sûr, l'idéal serait de faire le calcul de AK avec les valeurs irrationnelles exactes, mais évidemment, ce serait plus difficile...et cela ne semble pas être demandé...


  • L

    Si on faisait le calcul de AK avec les valeurs irrationnelles exactes, on trouverait 2 cm également ?


  • mtschoon

    Tout à fait !

    Avec les valeurs approchées, tu prouves que 2 est une valeur approchée de AK

    Avec les valeurs irrationnelles exactes , tu prouves que 2 est la valeur exacte de AK .


  • mtschoon

    Si tu es en vacances et si tu as du temps, maintenant que tu as fait le calcul de AK avec les valeurs approchées, tu peux le faire avec les valeurs exactes.

    Tu as dû trouver

    $\text{ah=4\sqrt 3$
    $\text{hc=\frac{4}{\sqrt 3}=\frac{4\sqrt 3}{3}$

    Tu peux déduire :

    $\text{ac=...$

    puis

    $\text{aj=...$

    et enfin

    $\text{ak=2$


  • L

    Pour AC, ça donne : ah+hcah + hcah+hc
    =43+433= 4\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}=43+343

    Si c'est bien cela, j'aurais juste besoin d'une aide pour calculer cette racine carrée à « la main » ?


  • mtschoon

    Il ne faut pas "calculer" la racine carrée.

    Que ça soit à la main ou la calculette, tu ne pourras obtenir qu'une valeur approchée ...
    (un nombre irrationnel a une infinité de décimales, avec un développement non périodique).

    ac=43+433=43(1+13)=43(43)ac=4\sqrt 3+\frac{4\sqrt 3}{3}=4\sqrt 3(1+\frac{1}{3})=4\sqrt 3(\frac{4}{3})ac=43+343=43(1+31)=43(34)

    Donc :

    ac=1633ac=\frac{16\sqrt 3}{3}ac=3163

    Continue avec cette expression.

    Tu dois trouver aj=433aj=\frac{4\sqrt 3}{3}aj=343

    Ensuite, dans la proportion, il y aura des simplifications ( √3 disparait) et tu trouveras :

    ak=2ak=2ak=2

    Bons calculs !


  • L

    Je vais récapituler tout le raisonnement. J'ignore si ce que j'ai fait est bon, bien que j'ai trouvé 2 cm...

    ah=43ah= 4\sqrt{3}ah=43
    hc=433hc = \frac{4\sqrt{3}}{3}hc=343

    On connait (AH) et (HC) donc on peut en déduire AC.

    ac=ah+hcac = ah+ hcac=ah+hc
    ac=43+433ac=4\sqrt{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}ac=43+343

    Donc après on fait le calcul que vous avez effectué et on trouve 1633\frac{16\sqrt{3}}{3}3163

    Ensuite, on peut en déduire AJ

    aj=14×acaj = \frac{1}{4} \times acaj=41×ac
    aj=14×1633aj = \frac{1}{4} \times \frac{16\sqrt{3}}{3}aj=41×3163
    aj=1×1634×3=1×4×434×3=433aj = \frac{1\times 16\sqrt{3}}{4\times 3}=\frac{1\times 4\times 4\sqrt{3}}{4\times 3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}aj=4×31×163=4×31×4×43=343

    Donc

    akaj=ajac=kjbc\frac{ak}{aj}=\frac{aj}{ac}=\frac{kj}{bc}ajak=acaj=bckj
    ak8=433÷1633\frac{ak}{8}= \frac{4\sqrt{3}}{3}\div \frac{16\sqrt{3}}{3}8ak=343÷3163
    ak=43÷163ak= \frac{4}{3}\div \frac{16}{3}ak=34÷316
    43×316\frac{4}{3}\times \frac{3}{16}34×163

    4×33×4×4\frac{4\times 3}{3\times 4\times 4 }3×4×44×3
    14\frac{1}{4}41

    Et ensuite, par un produit en croix, on trouve 2... ?


  • mtschoon

    Jusqu'à AJ, tes calculs sont bons.

    Après le "donc" , vérifie car il y a des confusions.

    Tu as écrit AK/AJ alors qu'ensuite il semble que tu aies pris AK/AB : c'est peut-être une faute de frappe ?

    Ensuite, il y a des erreurs en simplifiant.

    Je reprends avec AK/AJ

    akaj=abac\frac{ak}{aj}=\frac{ab}{ac}ajak=acab

    ak=aj×abacak=aj\times \frac{ab}{ac}ak=aj×acab

    ak=433×81633ak=\frac{4\sqrt 3}{3}\times \frac{8}{\frac{16\sqrt 3}{3}}ak=343×31638

    $ak=\frac{4\sqrt 3}{3}\times \frac{8\times 3}{\16\sqrt 3}$

    ak=43×8×33×16×3ak=\frac{4\sqrt3\times 8\times 3}{3\times16\times\sqrt 3}ak=3×16×343×8×3

    Tu simplifies et tu obtiens 2


  • L

    J'ai un doute... Vous avez mis :

    akaj=abac\frac{ak}{aj} = \frac{ab}{ac}ajak=acab

    Pour la première méthode, j'ai mis :

    ajac=akab\frac{aj}{ac}=\frac{ak}{ab}acaj=abak

    Du coup, mon égalité est fausse ?


  • mtschoon

    Avec des valeurs non nulles, cela revient au même. (Ce sont des erreurs de simplification qui t'ont donné un mauvais résultat).

    ab=cd↔ac=bd↔ad=bc\frac{a}{b}=\frac{c}{d} \leftrightarrow \frac{a}{c}=\frac{b}{d}\leftrightarrow ad=bcba=dcca=dbad=bc


  • L

    Ah d'accord ! J'ai simplifié et j'ai bien trouvé 2 !

    Merci bien ! Cette autre méthode m'a paru plus compliquée mais elle valait la peine d'être faite !


  • mtschoon

    C'est bien !

    C'est sûr que la méthode avec les valeurs exactes est nettement plus compliquée (surtout en 3ème) mais c'est la "vraie" méthode.
    Si tu dois rendre cet exercice en devoir, je te suggère de proposer les deux méthodes.

    Tu as bien travaillé !


  • L

    C'est exactement ce que j'ai fait puisque je ne savais pas laquelle des deux méthodes voulait mon prof !

    😄


  • N
    Modérateurs

    Bonsoir LilouFanDesMaths et mtschoon

    Il me semble qu'une démonstration plus simple est demandée.
    A partir de AJ/AC = AK/AB
    Comme AJ/AC = 1/4,
    on déduit AK/AB = 1/4
    et comme AB = 8
    AK = 1/4 x 8 = 2


  • L

    Bonsoir,

    Désolée de ce message si tardif... La réponse de Noémi est une autre solution ?


  • mtschoon

    C'est un raccourci pour terminer le calcul de AK sans utiliser les valeurs obtenues à AJ et AC aux questions précédentes, c'est à dire en se servant exclusivement des données de l'énoncé, ce qui est plus facile (ça évite la difficulté de calcul avec des "√3").


  • L

    Ah d'accord ! Merci 🙂


  • mtschoon

    Comme le forum est calme, je te faisla fin des calculs avec la dernière version.

    Sans utiliser les valeurs obtenues à AJ et AC (c'est un peu dommage car on n'utilise pas ainsi d'enchaînement logique entre les questions, mais c'est plus simple), tu peux utiliser directement l'hypothèse de l'énoncé.

    ajac=14\frac{aj}{ac}=\frac{1}{4}acaj=41

    Vu que :

    ajac=akab\frac{aj}{ac}=\frac{ak}{ab}acaj=abak,

    on déduit

    akab=14\frac{ak}{ab}=\frac{1}{4}abak=41

    d'où

    ak=14ab=14×8ak=\frac{1}{4}ab=\frac{1}{4}\times 8ak=41ab=41×8

    Après simplification

    ak=2ak=2ak=2

    Je crois que l'on a fait le tour de la question ! ! !

    Bonne semaine.


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