Math forum

Soutien scolaire en maths

Cours de mathématiques et soutien scolaire dans toute la France, pour tous les niveaux

Contactez nos professeurs expérimentés ou utilisez nos services en ligne !

Les maths ont leur forum !

Demander un devis pour du soutien scolaire Abonnez-vous au service de révision en ligne
RUBRIQUES

 
Cours & Math-fiches

 
Math foru' sur Facebook


 
Rechercher dans les forums Derniers messages S'inscrire pour poster des messages S'inscrire pour poster des messages
vers le sujet précédent vers le sujet suivant
Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

Fonctions convexes, dérivée seconde et fonctions concaves

- classé dans : Fonctions & opérations

Envoyé: 07.01.2015, 18:21

Sai'moa

enregistré depuis: janv.. 2015
Messages: 4

Status: hors ligne
dernière visite: 12.01.15
Bonjour à tous ! Tout d'abord bonne année à tout le monde, et qui dit bonne année dit forcément un petit devoir maison ! ;)

Je tiens à préciser que je n'ai jamais vu la notion de fonction convexe en cours (mais c'est normal vu que c'est un DM) mais que je me suis un peu renseigné avant, cependant j'avoue ne pas avoir compris le but et le fonctionnement de cette "dérivée seconde" (à vrai dire c'est assez flou je n'arrive pas à m'imaginer une fonction deux fois dérivable :().

Le système de la fonction concave étant vraisemblablement lié à la fonction convexe (d'après ce que j'ai compris), je cherche donc ici une âme charitable pour m'aider à comprendre avec des exemples de préférence :)
Par exemple je peux poster les deux premières questions de mon devoir si cela peut aider :)
Elles sont les suivantes :

1. Démontrer que la fonction f est convexe sur I si, et seulement si, la fonction f' est croissante sur I.

2. Soit f une fonction convexe et soit a ∈ I. Posons, pour tout réel x de I:
ρa(x)= f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)]
a) Quelle interprétation graphique peut-on faire de la fonction ρa ?

Merci d'avance pour votre aide !

modifié par : mtschoon, 08 Jan 2015 - 09:13
Top 
 

Soutien scolaire en maths

Cours de mathématiques et soutien scolaire dans toute la France, pour tous les niveaux

Contactez nos professeurs expérimentés ou utilisez nos services en ligne !

Demander un devis pour du soutien scolaire Abonnez-vous au service de révision en ligne
Envoyé: 09.01.2015, 09:21

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9231

Status: hors ligne
dernière visite: 19.10.17
Bonjour,

Les données de ton exercice sont insuffisantes.

Si tu as consulté quelques sites sur le web, tu as pu remarquer des définitions différentes, plus ou moins générales, qui rendent parfois la démonstration de la question 1) très difficile pour le niveau 1S.

Si tu as besoin de conseils, il faut que tu donnes, non seulement les questions, mais toute la partie de l'énoncé qui précède les questions, pour savoir comment interpréter cet exercice.

modifié par : mtschoon, 09 Jan 2015 - 09:28
Top 
Envoyé: 10.01.2015, 12:20

Sai'moa

enregistré depuis: janv.. 2015
Messages: 4

Status: hors ligne
dernière visite: 12.01.15
L'exercice commence par une définition de la dérivée seconde qui est la suivante:

La dérivée seconde de f, notée f'', est la dérivée de la fonction f' ; autrement dit f''=(f')'.
Une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I est dite convexe si sa dérivée seconde est positive sur I.

Ce qui nous amène directement à la question 1 postée précédemment.

Je pense que pour la question 1 il faut travailler avec un cas général (comme pour trouver une propriété), cependant je trouve la question assez difficile effectivement.
Top 
Envoyé: 10.01.2015, 13:14

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9231

Status: hors ligne
dernière visite: 19.10.17
C'est ce que j'imaginais.
Tu dois travailler seulement dans le cas d'une fonction deux fois dérivable.
(cas tout à fait accessible en 1S).

Applique tout simplement la définition donnée dans l'énoncé .

Une fonction f deux fois dérivable sur un intervalle I est dite convexe si sa dérivée seconde est positive sur I.

Un exemple simple pour comprendre la dérivée seconde : tu dérives la dérivée première f '

f(x)=x² donc f'(x)=2x donc f"(x)=2

Pour la 1) , utilise la définition donnée

f convexe sur I <=> f"(x) ≥ 0 <=> f' croissante

explication : f' est croissante si et seulement si sa dérivée est positive, c'est à dire f"(x) prend des valeurs positives.

Piste pour la 2)a)

y=f'(a)(x-a)+f(a) est l'équation de la tangente (Ta) au point d'abscisse a de la courbe

Soit M(x,f(x)) un point de la courbe, avec x ∈ I

pa représente la différence entre l'ordonnée yM du point M de la courbe avec l'ordonnée yN du point N de même abscisse x de (Ta)

pa(x) = yM-yN

pa(x) > 0 <=> yM > yN <=> M est au - dessus de (Ta)

pa(x)= 0<=>yM= yN <=> M ∈ (Ta)

pa(x) < 0 <=> yM < yN <=> M est en - dessous de (Ta)

modifié par : mtschoon, 11 Jan 2015 - 17:31
Top 
Envoyé: 11.01.2015, 11:21

Sai'moa

enregistré depuis: janv.. 2015
Messages: 4

Status: hors ligne
dernière visite: 12.01.15
Merci pour la question 1 j'ai compris ;) Par contre pour la question 2 alors là c'est le flou complet x) Je ne suis pas une bête en maths mais j'avoue ne pas avoir compris ton raisonnement (je n'ai peut-être pas encore vu ça en cours). Je n'ai pas compris pourquoi faire la difference entre Ym et Yn, qu'est-ce qu'ils représentent, ou encore où est passée la fonction ρa
C'est comme si je ne voyais même pas un rapport avec l'énoncé xD

Désolé d'être aussi nul :( Tu pourrais m'expliquer avec plus de precisions en utilisant l'énoncé et en prenant en compte que j'suis pas très bon en maths stp, je te serais énormément reconnaissant, merci d'avance :)
Top 
Envoyé: 11.01.2015, 17:15

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9231

Status: hors ligne
dernière visite: 19.10.17
Pour la 2)a), je vais essayer de t'expliquer avec un graphique.

fichier math

(C) est la courbe d'équation y=f(x) (en bleu)

(Ta) est la tangente en A à la courbe (en vert)

y=f'(a)(x-a)+f(a) est l'équation de (Ta) ( tu as dû le voir en cours)

Soit x une valeur de I .

M est le point de (C) d'abscisse x
Son ordonnée que j'ai appelée yM est la mesure algébrique entre O et G (c'est à dire entre K et M)
on a donc yM=f(x)

N est le point de (Ta) d'abscisse x
Son ordonnée que j'ai appelée yN est la mesure algébrique entre O et F (c'est à dire entre K et N)
on a donc yN=f'(a)(x-a)+f(a)

L'énoncé te dit que pa(x)=f(x)-[f'(a)(x-a)+f(a)]

Donc \fbox{\text{p_a(x)=y_M-y_N}

Regarde bien le graphique.

pa(x) est la différence entre l'ordonnée de M et celle de N

pa(x) est donc la mesure algébrique entre N et M ( c'est à dire entre F et G)

Si tu connais la notation de mesure algébrique, tu peut écrire :
 \fbox{\text{p_a(x)=\overline{KM}-\overline{KN}=\overline{NM}

C'est ce qui faut que tu expliques dans la question 2)a)

Dans ma réponse précédente, j'ai complété en expliquant à quoi va servir le signe de pa(x).
Ce n'est pas obligé de l'expliquer là, je suppose que ça sera vu dans les questions suivantes (que tu n'as pas données)



modifié par : mtschoon, 11 Jan 2015 - 22:27
Top 
Envoyé: 12.01.2015, 07:28

Sai'moa

enregistré depuis: janv.. 2015
Messages: 4

Status: hors ligne
dernière visite: 12.01.15
Effectivement dans les questions suivantes il y a une étude de signe !
Merci beaucoup mtschoon pour le temps que tu as consacré à m'expliquer, grâce à toi j'ai compris la notion :) (même si je trouve bizarre que le professeur nous ai donné ce DM etant donné qu'on a jamais vu en cours que y=f'(a)(x-a)+f(a) m'enfin je suppose qu'il fallait le trouver tout seul ^^') Enfin merci encore et bonne continuation à toi ;D
Top 
Envoyé: 12.01.2015, 10:05

Modératrice


enregistré depuis: févr.. 2011
Messages: 9231

Status: hors ligne
dernière visite: 19.10.17
C'est bizarre que tu ne connaisses pas l'équation de la tangente à une courbe en un point donné.

Si besoin, je te mets un lien où il y a l'explication.

http://homeomath.imingo.net/deritan.htm

Bon travail.

modifié par : mtschoon, 12 Jan 2015 - 10:06
Top 


Boîte de connexion

 Bienvenue invité
Inscris-toi c'est gratuit !



Rejoins-nous afin de poser tes questions dans les forums de Math foru' :

 Crée ton compte
 Connexion :
Pseudo :


Mot de passe :


Retenir


Identifiants perdus ?
Membres
Dernier Nouveaux aujourd'hui0
Dernier Nouveaux hier2
Dernier Total13528
Dernier Dernier
LOL_KIKOUS_DES_MONTAGNES
 
Liens commerciaux