Inégalité Triangulaire

Bonjour,
je suis nouveau sur ce forum, j'espère que je l'utiliserai correctement et surtout la bonne notation.

j'ai démontré dans les questions précédentes que ∀x et ∀y:

x ≤ |x| et donc y ≤|y|

x + y ≤ |x| + |y|

On me demande de démontrer que -(x + y) ≤ |x| + |y| en observant que -(x + y) = (-x) + (-y)

je commence par affirmer que ∀x,y on a |x|+|y| ≥ 0

Ensuite j'essaie de voir ce donne -(x + y) en fct de x et y:

Si x ≥ 0 et y ≥ 0
⇒ (-x) ≤ 0 et (-y) ≤ 0
⇒ (-x) + (-y) ≤ 0
⇒ -(x+y) ≤ 0

Comme |x|+|y| ≥ 0
Alors -(x+y) ≤ |x|+|y| CQFD pour x et y ≥ 0

Si x ≤ 0 et y ≤ 0
⇒ (-x) ≥ 0 et (-y) ≥ 0
⇒ (-x) + (-y) ≥ 0
⇒ -(x+y) ≥ 0

Comme |x|+|y| ≥ 0
Mais je ne peux pas affirmer que -(x+y) ≤ |x|+|y| lorsque x et y ≤ 0 ???
j'ai peur de ne pas être sur le bonne piste!

Ensuite je suis obliger de tenir compte en plus du plus grand entre |x| et |y|

Si x ≤ 0 et y ≥ 0 et |x| < |y|
⇒ (-x) ≥ 0 et (-y) ≤ 0
⇒ (-x) + (-y) ≤ 0
⇒ -(x+y) ≤ 0

Comme |x|+|y| ≥ 0
Alors -(x+y) ≤ |x|+|y| CQFD x ≤ 0 et y ≥ 0 et |x| < |y|

3') Si x ≤ 0 et y ≥ 0 et |x| > |y|
⇒ (-x) ≥ 0 et (-y) ≤ 0
⇒ (-x) + (-y) ≥ 0
⇒ -(x+y) ≥ 0

Comme |x|+|y| ≥ 0
Mais là encore je ne peux pas affirmer que -(x+y) ≤ |x|+|y| lorsque x ≤ 0 et y ≥ 0 et |x| > |y| ???
Ce qui me fait dire que je ne suis vraiment pas sur la bonne piste!

Quelqu'un aurait-il une idée pour je reparte sur de bonnes bases?
merci d'avance à ceux qui prendrons un peu de temps sur mon problème.

Bonsoir Den's,

Compare -x et |x| et -y avec |y|