Fonction exponentielle et dérivation


  • S

    Bonsoir, j'ai deux exercice impossible pour moi, à vous présenter :

    Ex 1 : f définie sur IR par : f(x) = (x² + x−1)exx-1)e^xx1)ex
    On note f^(1) = f', f^(2) = f''

    1. Calculer pour tout réel x, f' et f''.
    2. Démontrer par récurrence que pour tout entier n>= 1,
      f^(n) = x²+a+a+anx+bx+bx+bn)ex)e^x)ex avec a</em>n+1a</em>{n+1}a</em>n+1 = ana_nan+2
      et b</em>n+1b</em>{n+1}b</em>n+1 = aaa_n+bn+b_n+bn
    3. On se propose dans cette question d'exprimer an et bn en fonction de n.
      a) Quelle est la nautre de la suite (an) ? En déduire an en fonction de n pour tout entier n>=1.
      b)Vérifier que pour tout n>=1: bn= aaa{an-1}+a</em>n−2+a</em>{n-2}+a</em>n2+...+a+a+a_2+a1+a_1+a1
      En déduire bnb_nbn en fonction de n pour tout entier n>=1
      Merci de votre aide..

  • mtschoon

    Bonjour,

    Merci de nous dire ce que tu as commencé à faire.

    Où bloques-tu ?

    Je te donne les expressions de f(1)f^{(1)}f(1)(x) et de f(2)f^{(2)}f(2)(x) pour que tu puisses vérifier tes calculs ( utilise la dérivée d'un produit)

    f(1)(x)=(x2+3x)exf^{(1)}(x)=(x^2+3x)e^xf(1)(x)=(x2+3x)ex

    f(2)(x)=(x2+5x+3)exf^{(2)}(x)=(x^2+5x+3)e^xf(2)(x)=(x2+5x+3)ex

    Tiens nous au courant.


  • S

    J'ai trouvé la même chose ! Mais c'est plus sur la récurrence que je suis perdu, sur comment faire l'hérédité et même l'initialisation. Car sans avoir Un+1 ni U0 de bn et an je sais pas que faire... help


  • mtschoon

    C'est donc la récurrence de la 2) qui te pose problème.

    Piste,

    Initialisation

    Utilise les calculs faits à la première question.

    Tu constates que

    $\text{a_1=3 et b_1=0 \ a_2=5 et b_2=3$

    Donc,

    $\text{a_2=a_1+2 et b_2=a_1+b_1$

    L'initialisation est bien réalisée.

    Hérédité

    Hypothèse à un ordre n (n ≥ 1) :
    f(n)(x)=(x2+anx+bn)exf^{(n)}(x)=(x^2+a_nx+b_n)e^xf(n)(x)=(x2+anx+bn)ex

    Il faut démontrer la propriété à l'ordre (n+1), c'est à dire que :
    f(n+1)(x)=(x2+an+1x+bn+1)exf^{(n+1)}(x)=(x^2+a_{n+1}x+b_{n+1})e^xf(n+1)(x)=(x2+an+1x+bn+1)ex
    avec
    $\left{a_{n+1}=a_{n}+2\ \ b_{n+1}=a_{n}+b_{n}\right$

    Principe pour démarrer la démonstration :

    $\text{f^{(n+1)} est la derivee de f^{(n)}$

    Tu dérives donc f(n)(x)f^{(n)}(x)f(n)(x) en utilisant la dérivée d'un produit et tu obtiens f(n+1)(x)f^{(n+1)}(x)f(n+1)(x)

    Essaie et reposte si tu bloques.


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