suite non convergente

Bonsoir je bloque beaucoup pour un dm de math, pour la a) j'ai fais par récurrence mais je suis bloquée au niveau de la démo pouvez vous m'aider svp ?
U est la suite définie par Uo=2 et pour tout nombre entier naturel n, Un+1=Un²/(Un-1)

a) Démontrer que la suite u est minorée par 2.
b) Déterminer le sens de variation de u.
c) Démontrer que la suite u ne peut converger vers aucun nombre réel L.
d) Démontrer, en raisonnant par l'absurde que u n'est pas majorée. En déduire la limite de la suite u.

Bonsoir angel82,

Je suppose que la relation est $U_{n+1}$ = $U_n$ ² $U_n$ -1)

Si oui, mets $U_n$ en facteur et montre que $U_{n+1}$ ≤ 2

Un+1=Un(Un)/(Un-1) ? je suis désolée je ne comprend pas très bien

Et la factorisation du dénominateur $U_n$ -1 = $U_n$ ( ....)

oui donc ça ferait : Un(Un)/Un(1-(1/Un)) mais je ne vois pas où ça nous mène

j'ai réussi à démontrer par récurrence en utilisant f(Un) par contre je n'arrive pas à démontrer par l'absurde que (Un) ne peut pas converger, pouvez vous m'aidez ?

Tu supposes que la suite Un est majorée par m et tu démontres que Un+1 > m.

nous savons que la suite est croissante. supposons qu'elle est majorée par un réel "M" et converge vers un réel "L" avec L<=M
donc Un<=M et Un<= Un+1 donc Un+1<=M ?

Utilise l'expression de $U_{n+1}$ en fonction de $U_n$ .

je ne comprend pas je suis désolée

Su Un ≤ M, que peut-on dire de Un² ?
de Un²/(Un-1) ?

si Un<=M alors Un²<=M(Un)
Un²/(Un-1)<=M(Un)/(Un-1)?
donc Un+1<=M(Un)/(Un-1)?

Il faut écrire tous les termes en fonction de M
Si M > 0, Un ≤ M
Un² ≤ M²

Un - 1 ≤ ....

Un-1<=M-1
donc Un²/(Un-1)<=M²/(M-1)? mais je ne vois pas où cela nous mène

Attention
Un-1 ≤ M - 1 ne donne pas 1/(Un-1) ≤ 1/(M-1) !

Tu dois vérifier que Un+1 > M

Un<=M
Un²<=M²
Un-1<=M-1
donc Un²/(Un-1) <= M²/(M-1)
donc Un+1 <= M²/(M-1)
je ne comprend pas mon erreur

Si 2 < 3

Que peut on dire de 1/2 par rapport à 1/3 ?

que 1/2>1/3
donc Un²/(Un-1)>=M²/(M-1)
Donc Un+1>=M²/(M-1)>=M ? c'est ça ?

Non,
tu ne peux pas associer des inégalités de sens contraires

Un ≤ M
Un² ≤ M²
M - a ≤ Un-1 ≤ M-1 avec a > 1
donc 1/(M-a) ≥ 1/(Un-1) ≥ 1/(M-1)

donc Un²/(Un-1) <= M²/(M-a)
donc Un+1 <= M²/(M-a)
Donc Un+1 ≤ M/(1-a/M) qui est supérieur à M

mais du coup on a pas prouvé qu'elle ne peut pas converger ?

Tu déduis que la suite Un n'est pas majorée.

je ne comprend pas comment on peut en déduire qu'elle n'est pas majorée, je ne vois pas la contradiction dans le raisonnement

Tu déduis :
Un+1 ≤ M/(1-a/M)
soit Un+1 ≤ kM avec k > 1

oui mais ceci signifie qu'elle est majorée par un réel M ?