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Modéré par: Thierry, Noemi, mtschoon
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Arithmétique (congruence divisibilité, division euclidienne)

- classé dans : Arithmétique

Envoyé: 30.10.2014, 22:07



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Bonjour :) je suis en terminale S en spé math, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:

Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3^n par 7.
b) Démontrer que, pour tout n, 3^(n+6)- 3^n est divisible par 7. En déduire que 3^n et 3^(n+6) ont le même reste dans la division par 7.
c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 3^1 000 par 7.
d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3^n
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit Un = 1 +3 + 3^2+ ... +3^(n-1)=(en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0)∑3^i, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.
a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors (3^n) -1 est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que Si (3^n)-1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
Merci d'avance :)





modifié par : lilali600, 30 Oct 2014 - 23:36
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Envoyé: 30.10.2014, 22:48

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Bonsoir lilali600,

C'est 3n ou 3n ?
Quels restes as tu trouvé pour la division euclidienne de 3n par 7 ?
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Envoyé: 30.10.2014, 22:56



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c'est 3 exposant n j'ai modifié
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Envoyé: 30.10.2014, 23:31

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Et les restes ?
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Envoyé: 31.10.2014, 09:15



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Bonjour :) je suis en terminale S en spé math chapitres sur la divisibilité, division euclidienne, congruence, voilà je suis bloquée sur les questions 1.c 1.d et 2.a et 2.b j'ai vraiment besoin d'aide merci de votre compréhension voici l'énoncé:


Dans tout l'exercice, n désigne un entier naturel non nul.
1.a). Pour 1 ≤ n ≤ 6, calculer les restes de la division euclidienne de 3n par 7.

b) Démontrer que, pour tout n, 3n+6-3n est divisible par 7. En déduire que 3n et 3n+6 ont le même reste dans la division par 7.

c) À l'aide des résultats précédents, calculer le reste de la division euclidienne de 31000 par 7.

d) De manière générale, comment peut-on calculer le reste de la division euclidienne de 3n
par 7, pour n quelconque ?
2. Soit Un = 1 +3 +32+ ... +3n-1= (en haut de la somme c'est i=n-1 et en bas c'est i=0) ∑ 3i, où n est un entier naturel supérieur ou égal à 2.

a) Montrer que si Un est divisible par 7 alors 3n -1 est divisible par 7.
b) Réciproquement, montrer que Si 3n -1 est divisible par 7 alors Un est divisible par 7.
En déduire les valeurs de n telles que Un soit divisible par 7.
Merci d'avance :)



modifié par : lilali600, 31 Oct 2014 - 09:17
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Envoyé: 31.10.2014, 10:37

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Pour la question c) il faut utiliser les résultats des question a et b.
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Envoyé: 31.10.2014, 10:42



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1000=142*7+6 donc 1000 congru 6 (7) c'est ça ?

modifié par : lilali600, 31 Oct 2014 - 10:43
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