Suites et raisonnement par récurrence


  • M

    u est la suite définie par u1u_1u1 = 1/2 et pour tout nombre entier n, un+1u_{n+1}un+1 = 1/(2−un1/(2-u_n1/(2un)
    On se propose de calculer la valeur exacte du produit :
    PnP_nPn ===\prod_{k=1}^{n}{}uku_kuk = u1u_1u1 × ... × unu_nun

    Partie 1

    1. A l'aide d'un tableur, calculer les premiers termes des suite u et P et tracer les nuages de points associés.
      Expliquer pourquoi les allures obtenues incitent à travailler sur les écritures fractionnaires unu_nun et PnP_nPn.
    2. Utiliser un logiciel de calcul formel et un algorithme simple pour calculer les termes des suites u et P.
    3. Émettre deux conjectures, l'une sur unu_nun, l'autre sur PnP_nPn, en fonction de n.

    Partie 2

    1. Démontrer par récurrence l'expression conjecturée pour unu_nun.
      2)a) Exprimer Pn+1P_{n+1}Pn+1 en fonction de PnP_nPn et un+1u_{n+1}un+1.
      b) Démontrer par récurrence l’expression conjecturée pour PnP_nPn.
    2. Déterminer les limites des suites u et P.

    Voilà j'ai cet exercice à f aire pendant les vacances, ayant subi une opération de l'appendice j'ai raté beaucoup de cours et est fini de rattraper aujourd'hui mais ne comprend pas ce chapitre. Pouvez vous m'aider à résoudre cet exercice. Merci beaucoup pour votre aide précieuse.


  • N
    Modérateurs

    Bonjour mavitr3,

    Indique tes éléments de réponse et la question qui te pose problème.
    As tu calculé les premiers termes ?


  • M

    Bonjour,
    J'ai calculer les termes à l'aide du tableur, j'ai fais les nuages de points mais je ne sais pas si cela est correct.

    fichier math


  • N
    Modérateurs

    Bonjour mavitr3,

    C'est correct, vers quelle valeur semblent tendre les deux suites ?


  • M

    Les deux suites semblent tendre vers 0 ou 1, non ?


  • N
    Modérateurs

    Oui,
    précise celle qui tend vers 1 et celle qui tend vers 0.


  • M

    Donc la suite u tend vers 1 et la suite P tend vers 0


  • N
    Modérateurs

    C'est correct.


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