Suite U(n+1)=racine(3Un + 4)

Bonjour j ai besoin d aide ,
C est un devoir maison pour la rentree je bloque sur une question depuis 2h
Voici l exercice on sait que U0=0 et que Un+1=racine de 3Un+4
J ai demontrer que Un etait majoree
Que Un etait croissante
Que Un converge et j ai determiner sa limite c' est 4
2) a- Montrer que pour tout entier naturel n: 4-Un+1<ou= 1/2 (4-Un)
b- retrouver que Un converge et determiner sa limite
La gros bloquage
Merci d avance

Bonsoir,

C'est donc la 2) qui te pose problème.

Piste,

$4−un+1=4−3un+44-u_{n+1}=4-\sqrt{3u_n+4}$

Je te conseille d'utiliser le conjugué

$4−un+1=(4−3un+4)(4+3un+4)4+3un+44-u_{n+1}=\frac{(4-\sqrt{3u_n+4})(4+\sqrt{3u_n+4})}{4+\sqrt{3u_n+4}}$

Après transformation du numérateur, tu dois trouver :

$4−un+1=12−3un4+3un+44-u_{n+1}=\frac{12-3u_n}{4+\sqrt{3u_n+4}}$

$4−un+1=3(4−un)4+3un+44-u_{n+1}=\frac{3(4-u_n)}{4+\sqrt{3u_n+4}}$

Vu que Un ≥ 0, $3U_n$ +4 ≥ 4

Tu dois trouver que :

$4+3un+4≥64+\sqrt{3u_n+4} \ge 6$

donc :

$4−un+1≤3(4−un)64-u_{n+1}\le\frac{3(4-u_n)}{6}$

En simplifiant, tu obtiens l'inégalité cherchée.