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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

Sommet d'une parabole

- classé dans : Second degré & polynômes

Envoyé: 21.10.2014, 15:18

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Bonjour,
Je dois faire un exercice pour un devoir maison, mais j'ai beaucoup de mal !! Voilà le sujet:

Soit a un réel non nul.
On considère la parabole d'équation y=ax²+x+1.
On note Sa le sommet de la parabole.
Quel est l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R?

Voilà, j'ai essayé de répondre au problème mais je ne suis pas arrivé à quelque chose de concret. En fait, je crois que je n'ai pas bien compris l’énoncé. J'ai cherché sur internet mais je n'ai rien trouver.
Si vous pouviez m'aider à résoudre ce problème :)
Merci d'avance pour vos réponses !!
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Envoyé: 21.10.2014, 15:32

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mathtous

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Bonjour,
Tu dois avoir en cours l'abscisse du sommet de la parabole.



Mathtous
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Envoyé: 21.10.2014, 15:38

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Je sais que pour trouver les coordonnées d'un sommet il faut écrire l'équation sous forme canonique, si c'es ce que vous voulez dire :)
Le problème, c'est que je ne m'en sors pas dans les calculs !! Je ne comprend pas vraiment la démarche à suivre :S
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Envoyé: 21.10.2014, 15:49

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mathtous

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a ≠ 0 sinon, ce ne serait pas une parabole.
Mets a en facteur


Mathtous
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Envoyé: 21.10.2014, 15:56

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C'est bon !! je pense que j'ai compris !! je vais essayer !!
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Envoyé: 21.10.2014, 15:58

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mathtous

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Montre tes calculs si u veux qu'on les corrige.


Mathtous
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Envoyé: 21.10.2014, 16:13

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En fait, j'ai un problème.
Ce que j'ai trouvé:
y=ax²+x+1
y=a(x²+(x/a)+(1/a))
Ensuite, je crois qu'il faut prendre le coefficient de (x/a), le diviser par deux et le mettre au carré, non?
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Envoyé: 21.10.2014, 16:24

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mathtous

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Oui : de façon précise : c'est x² + x/(a) qui doit être le début d'un carré .
(x + 1/(2a))²= ...


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Envoyé: 21.10.2014, 16:33

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Ok !!
Alors, j'ai:
ax²+x+1
a(x²+(x/a)+(1/a))
a(x²+(X/a)+(1/4a²)+(1/a)-(1/4a²)
a(x+1/(2a))²+1/a-(1/4a²)
Et là je ne comprend pas trop :S
La forme canonique c'est: a(x+1/2a)²??
Ou je me suis trompé dans le calcul?
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Envoyé: 21.10.2014, 16:34

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Attend non j'ai vu ou est le problème !! je refait le calcul !!
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Envoyé: 21.10.2014, 16:39

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J'ai trouvé comme forme canonique:
a(x+(1/2a))²+((4a-1)/(4a²))
C'est juste?
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Envoyé: 21.10.2014, 16:41

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mathtous

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Citation
a(x+1/(2a))²+1/a-(1/4a²)
Il manque seulement des parenthèses.
y = a[(x+1/2a)² +(4a-1)/(4a²)]
Tu peux donc obtenir l'abscisse du sommet, puis son ordonnée.


modifié par : mathtous, 21 Oct 2014 - 16:44


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Envoyé: 21.10.2014, 16:46

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Ok, je me suis trompé en écrivant mais j'ai juste sur mon papier !
Donc, les coordonnées du sommet sont ((1/(2a));((4a-1)/(4a²))) pour a différent de 0. Ce que je ne comprend pas c'est que ça ne répond pas encore à la question, et je ne comprend toujourss pas comment y répondre :s
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Envoyé: 21.10.2014, 16:49

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Non : l'abscisse du sommet est ce qui annule le carré, donc c'est u = - 1/(2a).
Quant à l'ordonnée, c'est l'image de u : il ne faut donc pas oublier de remultiplier (4a-1)/(4a²) par a.


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Envoyé: 21.10.2014, 16:52

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J'avoue que je ne comprend pas bien le dernier message. Pour l'abscisse c'est bon mais j'ai pas compris pourquoi il faut multiplier par a. :s j'ai regardé mon cours et je n'ai pas d'endroit ou on me dit de multiplier par a
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Envoyé: 21.10.2014, 16:57

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y = a[(x+1/(2a))² + (4a-1)/4a²]
y= a(x+1/2a)² + a(4a-1)/4a²
On veut savoir ce que vaut y lorsque x vaut -1/2a : il faut donc y = ... et pas y = a[...]
Si tu préfères, tu pars de y = ax² + x + 1 et tu y remplaces x par -1/2a.


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Envoyé: 21.10.2014, 17:08

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Mais je ne comprend pas pourquoi on doit calculer y alors qu'on peut l'avoir avec la forme canonique??
Et encore une question, une fois que j'ai les coordonnées de Sa, j'ai ma réponse à la question posée?
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Envoyé: 21.10.2014, 17:12

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Le sommet de la parabole a deux coordonnées : u = -1/2a et v = f(-1/2a) en posant f(x) = y.
Tu dois donc calculer v, de la façon qui te plaira.
Ensuite, ce ne sera pas terminé : il faut trouver un lien entre u et v (les coordonnées du sommet).
Commence par proposer l'ordonnée du sommet.




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Envoyé: 21.10.2014, 17:14

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Mais ce que je ne comprend pas c'est que normalement on a pas besoin de calculer l'ordonnée car il est donné par la forme canonique... je me trompe?
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Envoyé: 21.10.2014, 17:36

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Si je fais le calcul j'obtiens -1/0, mais c'est pas possible !! Tu peux me donner le début du calcul, stp, je retourne le problème dans tous les sens mais je ne trouve
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Envoyé: 21.10.2014, 17:48

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Tu remplaces x par -1/2a :
y =a(-1/2a)² + (-1/2a) + 1
y = 1/4a -1/2a + 1
y = -1/4a + 1
Les coordonnées du sommet sont donc (-1/2a ; -1/4a + 1)

Si on pose u = -1/2a et v = -1/4a + 1, tu vois que v = (1/2).u + 1
Le sommet décrit donc une droite d'équation Y = (1/2).X + 1.
Presque ... car a≠0, donc u ≠ 0 (-1/2a ne peut pas être nul).
Il faut donc retirer de cette droite le point (0 ; 1).
Je dois maintenant me déconnecter. On verra demain si personne ne t'aide d'ici là.



Mathtous
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Envoyé: 22.10.2014, 14:17

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Je ne comprend pas la fin :s
Comment peut on passer des coordonnées à l'équation?
Et ou se trouve a dans l'équation?
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Envoyé: 22.10.2014, 14:35

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Si j'ai bien compris: u=x et v=y. Avec les coordonnées, on peut écrire une équation de droite: y=(1/2)x+1
ou bien y=(1/2)*(-1/(2a))+1
Donc, si un point appartient à la droite, il peut être un des sommets de la droite. C'est bien ça?
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Envoyé: 22.10.2014, 15:04

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Citation
Les coordonnées du sommet sont donc (-1/2a ; -1/4a + 1)

J'avais changé de lettres (u et v) pour t'éviter des confusions, mais ce sont des lettres "muettes" : on peut tout aussi bien les appeler X et Y, x et y, k et l, ...
Si u = -1/2a et v= -1/4a + 1 , vois-tu que v =(1/2).u + 1 ?


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Envoyé: 22.10.2014, 15:40

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Oui, ça je l'ai compris :) C'est le reste ou j'ai du mal :s
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Envoyé: 22.10.2014, 15:44

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Au lieu de u et v, j'utilise x et y :
v = (1/2).u + 1 s'écrit y = (1/2).x+ 1
C'est l'équation d'une droite.
Donc le point S, quels que soient les noms qu'on donne à ses coordonnées, est situé sur cette droite.
Comprends-tu toujours ?


Mathtous
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Envoyé: 22.10.2014, 15:47

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Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?
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Envoyé: 22.10.2014, 15:47

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Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?
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Envoyé: 22.10.2014, 15:47

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Je comprend l'équation mais je ne comprend pas ou apparait a? Il devrait être dans l'équation de la droite, non?
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Envoyé: 22.10.2014, 15:54

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mathtous

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Les coordonnées de S dépendent de a. Lorsque a varie, les coordonnées de S varient aussi, mais S reste sur la droite, nommons-la D, d'équation y = (1/2)x + 1.
Dans cette équation, x et y dépendent de a.
Le but du problème était précisément "d'éliminer" a entre les coordonnées de S.
Tu as une infinité de paraboles d'équation y = ax² + x + 1.
Trace celle avec a = 1 et regarde où est son sommet.
Trace celle avec a = -1 et regarde où est son sommet.
Tu peux en tracer d'autres avec d'autres valeurs de a : tu verras que leurs sommets sont tous situés sur la droite D.



Mathtous
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Envoyé: 22.10.2014, 15:59

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Ok !! J'ai compris !! Donc, l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R est tous les points appartenant à la droite, sauf 0 car a≠0. C'est juste?
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Envoyé: 22.10.2014, 15:59

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Ok !! J'ai compris !! Donc, l'ensemble des points Sa lorsque a décrit R est tous les points appartenant à la droite, sauf 0 car a≠0. C'est juste?
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Envoyé: 22.10.2014, 16:07

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mathtous

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Presque.
Il faut bien exclure un point, mais pas le point O(0;0).
D'ailleurs, le point O n'est pas situé sur D !
C'est l'abscisse de S qui ne peut pas être nulle :
elle vaut -1/2a qui ne peut jamais valoir 0
C'est donc le point de D d'abscisse 0 qu'il faut retirer : quelle est son ordonnée ?
y = (1/2).0 + 1 = 1
Le point qu'il faut retirer est donc le point (0;1).

C'est pour une tout autre raison que a doit être différent de 0 : c'est parce que l'équation y = ax² + x + 1 deviendrait y = x+1 qui n'est pas l'équation d'une parabole, mais d'une droite qui n'a rien à faire dans ce problème.


Mathtous
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Envoyé: 22.10.2014, 16:09

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Ok, merci beaucoup pour ton aide !! J'aurais jamais réussi sans toi :) Merci merci merci !!!!!!
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Envoyé: 22.10.2014, 16:09

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Ok, merci beaucoup pour ton aide !! J'aurais jamais réussi sans toi :) Merci merci merci !!!!!!
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Ok, merci beaucoup pour ton aide !! J'aurais jamais réussi sans toi :) Merci merci merci !!!!!!
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Ok, merci beaucoup pour ton aide !! J'aurais jamais réussi sans toi :) Merci merci merci !!!!!!
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Ok, merci beaucoup pour ton aide !! J'aurais jamais réussi sans toi :) Merci merci merci !!!!!!
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mathtous

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De rien.
Bon courage et n'hésite pas à poser des questions si quelque chose t'échappe.


Mathtous
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ok merci !
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