Nombre complexe imaginaire

slt,

je n'arrive pas à faire mon exercice pouvez-vous m'aider svp

Déterminer dans le plan complexe l'ensemble des points M d'affixe z distincte de -3i tels que

Z = (z+i)/ (ḹẔ + 3) soit un imaginaire pur

ḹẔ = iz avec la barre

j'ai fait
Z est un imaginaire pur ssi Z = Ẕ

z + i = - Ẕ - ḹ

ḹẔ + 3 = iz - 3

-Ẕ = Ẕ - ḹ / iz - 3

soit z = -Ẕ

L'ensemble cherché est l'axe des imaginaire pur

Bonsoir,

Tu as écrit :
Citation
Z = (z+i)/ (ḹẔ + 3)

Je te conseille écrire l'expression de Z plus clairement ...

je refait avec une meilleur notation

Z est un imaginaire pur ssi Z = Z"barre"

Z = (z+ i) / ( i"barre"z"barre"+3)

(z + i) / (i"barre"z"barre"+3) = (z"barre + i"barre)/(iz+3)

⇔ (z+i)/(iz+3) = (z"barre"+ i"barre") = (i"barre"z"barre" + 3)

soit z = z"barre"

L'ensemble recherché est donc l'axe des imaginaire pur

Si tu es sûr(e), c'est bien :

$\text{z\ =\ \frac{z+i}{\overline{ i }\overline{z}+3}$

Le conjugué de $i$ est $- i$

Donc :

$\text{z\ =\ \frac{z+i}{-i\overline{z}+3}$

Le conjugué de $3$ est $3$

Le conjugué de $z$ est $z‾\overline{z}$

Le conjugué de $i‾\overline{i}$ est $i‾‾\overline{\overline{i}}$ , c'est à dire $i$

Le conjugué de $z‾\overline{z}$ est $z‾‾\overline{\overline{z}}$ , c'est à dire $z$

Donc, en utilisant les propriétés des conjugués

$z‾=z‾−iiz+3\overline{z}=\frac{\overline{z}-i}{iz+3}$

L'égalité $z=z‾z=\overline{z}$ peut donc s'écrire :

$z+i−iz‾+3=z‾−iiz+3\frac{z+i}{-i\overline{z}+3}=\frac{\overline{z}-i}{iz+3}$

Es-tu sûr(e) d'avoir traîté cette égalité ? ?

Si tu n'aboutis pas avec cette méthode, je te suggère de poser dès le départ $z = x + i y$ et $z‾=x−iy\overline{z}=x-iy$ , avec x et y réels.

Z imaginaire pur si et seulement si sa partie réelle et nulle : ℜe(Z)=0

Ce que je n'est pas compris c'est que l'on dit que M a une affixe distincte de -3i cela n'influence en rien le résultat?

Cela correspond à la condition d'existence : dénominateur non nul ( car on ne peut pas diviser par 0)