Equation du second dedré dans l'ensemble des complexes


  • P

    Bonjour,
    Je rencontre quelques difficultés avec cet exercice.
    Quelqu'un peut-il m'aider ?

    On veut résoudre l'équation az2+bz+c=0az^2+bz+c=0az2+bz+c=0, mais, où les nombres a, b et c sont des complexes (dans le cours, ce sont des réels). Les factorisations faites en classe restent valables et les racines sont donc données par les formules : z1=−b−δ2aetz2=−b+δ2az_1=\dfrac{-b-\sqrt{\delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\delta}}{2a}z1=2abδetz2=2ab+δ

    δ{\delta}δ étant un nombre complexe.

    On s'intéresse à l'équation (e):z2−(1+4i)z+5i−5=0(e) : z^2-(1+4i)z+5i-5=0(e):z2(1+4i)z+5i5=0

    1. Montrer que δ=5−12i{\delta}=5-12iδ=512i

    Jusque là, ça va..... rien de bien méchant ! 😁

    δ=b2−4ac=(1+4i)2−4(5i−5)=1+8i+16i2−20i+20{\delta} = b^2-4ac = (1+4i)^2-4(5i-5) = 1+8i+16i^2-20i+20δ=b24ac=(1+4i)24(5i5)=1+8i+16i220i+20

    On sait que i2=−1i^2=-1i2=1

    donc : δ=1+8i−16−20i+20=1−16+20+8i−20i=5−12i{\delta} = 1+8i-16-20i+20 = 1-16+20+8i-20i = 5-12iδ=1+8i1620i+20=116+20+8i20i=512i

    1. Trouver un nombre zzz tel que z2=5−12iz^2=5-12iz2=512i (on prendra celui dont la partie réelle est positive)

    Et, là, je tourne en rond..... 😕


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pour la 2), tu appliques exactement le principe vu dans ton exercice précédent (revois-le)

    Chercher x et y réels tels que (x+iy)2=5−12i(x+iy)^2=5-12i(x+iy)2=512i

    Tu peux donner tes réponses si tu as besoin d'une vérification.


  • M

    Bonjour,
    Le nombre cherché est de la forme x+iy
    Développe (x+iy)², puis sépare les parties réelle et imaginaire : ça te donne deux équations pour trouver x et y.


  • P

    Ah oui ! Zut !
    J'avais déjà oublié : z=x+iy

    Je m'y replonge ce soir

    Merci


  • P

    Donc, si j'ai bien compris, mtschoon, cette question 2) reprend le cheminement de la totalité de l'exercice qu'on a évoqué dans l'autre "discussion" ?

    Donc, ça nous donnerait :

    z2=5−12iz^2=5-12iz2=512i

    z=x+iyz=x+iyz=x+iy donc z2=(x+iy)2=.....=(x2−y2)+i(2xy)=5−12iz^2=(x+iy)^2= ..... = (x^2-y^2)+i(2xy) = 5-12iz2=(x+iy)2=.....=(x2y2)+i(2xy)=512i

    donc :
    $\left\lbrace\begin{array}x^2-y^2=5 \ i(2xy)=-12i \end{array}$$\left\lbrace\begin{array}x^2-y^2=5 \ xy=-6 \end{array}$

    xy=−6xy=-6xy=6 donc y=−6xy=-\dfrac{6}{x}y=x6

    donc x2−y2=5x^2-y^2=5x2y2=5x2−(−6x)2=x2−36x2=5x^2-(-\dfrac{6}{x})^2=x^2-\dfrac{36}{x^2}=5x2(x6)2=x2x236=5

    x2(x2−36x2)=5x2x^2(x^2-\dfrac{36}{x^2})=5x^2x2(x2x236)=5x2x4−36=5x2x^4-36=5x^2x436=5x2x4−5x2−36=0x^4-5x^2-36=0x45x236=0

    Je pose x=x2x=x^2x=x2 et j'obtiens l'équation du 2d degré : x2−5x−36=0x^2-5x-36=0x25x36=0

    Une première racine est évidente : x1=−4x_1=-4x1=4

    x1∗x2=cax_1*x_2=\dfrac{c}{a}x1x2=ac−4x2=−36-4x^2=-364x2=36x2=9x_2=9x2=9

    x=x2x=x^2x=x2

    x1=−4x_1=-4x1=4x12=−4x_1^2=-4x12=4 impossible

    x2=9x_2=9x2=9x22=9x_2^2=9x22=9x2=3x_2=3x2=3 ou −3-33

    On sait que : xy=−6xy=-6xy=6 donc y=−6xy=-\dfrac{6}{x}y=x6 et et z=x+iyz=x+iyz=x+iy

    Donc, pour x=−3x=-3x=3, on a y=2y=2y=2 et z=x+iy=−3+2iz=x+iy=-3+2iz=x+iy=3+2i

    et, pour x=3x=3x=3, on a y=−2y=-2y=2 et z=x+iy=3−2iz=x+iy=3-2iz=x+iy=32i

    Comme dans l'énoncé, on me demande de garder le nombre zzz dont la partie réelle est positive, alors
    z=3-2i

    C'est bon ?


  • mtschoon

    C'est bon pour les racines carrées complexes de Δ.

    Une remarque que je t'ai déjà faite au sujet de √
    a\sqrt aa n'a de sens que lorsque A est un réel positif.

    Lorsque Δ est complexe, l'écriture δ\sqrt \deltaδ est à bannir...

    Il faudra reformuler les expressions de z1z_1z1 et z2z_2z2...


  • P

    Heu..... je ne comprends pas trop vos remarques. Lorsque j'écris :
    Citation
    z1=−b−δ2aetz2=−b+δ2az_1=\dfrac{-b-\sqrt{\delta}}{2a} et z_2=\dfrac{-b+\sqrt{\delta}}{2a}z1=2abδetz2=2ab+δ
    δ{\delta}δ étant un nombre complexe.
    je ne fais que recopier l'énoncé.


  • mtschoon

    L'écriture de z1z_1z1 et z2z_2z2 que tu donnes est correcte seulement pour Δ réel positif ( Tu peux voir ou revoir la définition de la fonction "racine carrée").

    Pour Δ complexe, tu devrais adapter cette écriture (pose la question à ton professeur)

    Tu as déjà remarqué que −1\sqrt {-1}1 n'est pas une écriture acceptable .
    C'est exactement pareil pour δ\sqrt \deltaδ

    Δ a deux racines carrées complexes opposées δ1 et δ2 (δ2=-δ1)

    δ étant une de ces valeurs (n'importe laquelle des deux), les solutions de l'équation az²+bz+c=0, avec a≠0, s'écrivent :

    z1=−b+δ2a et z2=−b−δ2az_1=\frac{-b+\delta}{2a}\ et \ z_2=\frac{-b-\delta}{2a}z1=2ab+δ et z2=2abδ

    Regarde ici :

    http://homeomath.imingo.net/complex17.htm

    Autre chose : l'énoncé te dit de prendra pour z "celui dont la partie réelle est positive").

    De quoi s'agit-il exactement ?

    Relis bien ton énoncé; ne s'agit-il pas de choisir entre z1 et z2 (solutions de l'équation az²+bz+c=0) , mais tu ne les as pas encore calculées.
    (Tu as calculé seulement les racines carrées complexes de Δ)


  • P

    En fait, je me suis mal exprimée.
    J'ai bien compris le sens de votre remarque : "racine carrée" ne peut être associée qu'à un réel positif. On peut donc l'associer à Δ si c'est un réel positif. Or dans mon énoncé, juste en dessous de l'écriture de z1z_1z1 et z2z_2z2, on me dit que Δ est un complexe. Donc on ne peut pas écrire δ\sqrt{\delta}δ

    Ce que je ne comprenais pas, c'est que c'était dans l'énoncé.
    Je vais donc en parler à mon professeur mais je doute qu'il pense que cette remarque vienne de moi. 😁

    Sinon, le résultat z=3-2i, c'est correct ?

    Dans la question 3), on me demande d'en déduire les solutions de l'équation (E)
    Dois-je remplacer zzz par 3−2i3-2i32i dans (e)(e)(e) ?


  • mtschoon

    Si ton professeur ne pense pas que cette remarque ne vient pas de toi, aucune importance : cela lui permettra de donner l'explication qui parait nécessaire.

    Les racines carrées complexes de Δ sont bien 3-2i et -3+2i

    Pour résoudre l'équation, c'est à dire trouver z1z_1z1 et z2z_2z2, utilise les formules usuelles que je viens de te donner; que tu prennes 3-2i ou -3+2i pour δ, cela revient au même.

    (c'est pour cela que je me demande si "prendre pour z celui dont la partie réelle est positive") s'applique aux racines carrées de Δ (ce qui ne sert à rien) ou aux solutions de l'équation du second degré... ?)

    Pour que tu puisses vérifier, je te donnes les solutions que tu dois trouver: 2+i et -1+3i


  • P

    Ah ok, oui !

    Δ=5-12i
    3-2i est une racine complexe de Δ

    donc z1=−b−(3−2i)2az_1=\dfrac{-b-(3-2i)}{2a}z1=2ab(32i) et z2=−b+(3−2i)2az_2=\dfrac{-b+(3-2i)}{2a}z2=2ab+(32i)

    et je dois arriver aux résultats que vous m'avez donnés.

    Et pour finir, dans la question 4), je dois verifier que ces solutions conviennent.
    Alors, dans (E), je remplace z par ces résultats et je vérifie que ça "colle"

    J'ai pigé

    Merci beaucoup pour le temps que vous avez bien voulu me consacrer !

    PS : Et, effectivement, "prendre pour z celui dont la partie réelle est positive" ne sert pas à grand-chose, à part, peut-être, nous éviter des calculs (donc des risques d'erreur) qui ne servent à rien.... 😁

    Merci en tout cas pour votre aide


  • mtschoon

    C'est bien ça pour la 4)

    Je pense que maintenant tout est clair pour toi (y compris les indications "douteuses"...de ton énoncé).

    Bons calculs!


  • P

    Ok ok

    Après un ou deux essais infructueux dûs (vous devez vous en douter) à des erreurs de signes 😁 , j'arrive enfin à (e)=0(e)=0(e)=0 quand je remplace zzz par z1=−1+3iz_1=-1+3iz1=1+3i puis par z2=2+iz_2=2+iz2=2+i

    Merci encore


  • mtschoon

    De rien !

    Tu as bien travaillé .


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