Suites - Démonstration par récurrence

Salut tout le monde !

J'ai besoin d'aide pour le dm suivant :

"Soit (Un )n∈N une suite définie par u0=1 et la relation de récurrence $U_{n+1}$ = √(6+Un ) .

Il ne me reste plus que la question 3 sur laquelle je bloque complètement...

Merci d'avance pour votre précieuse aide !

Bonsoir,

Piste pour la 3)

Vu que pour tout n , Un ≤ 3, nécessairement : $3−un≥03-u_n \ge 0$

Pour démontrer que $3−un≤24n3-u_n \le \frac{2}{4^n}$ , une récurrence va très bien (utilise la 2) pour prouver l'hérédité)

Merci pour votre réponse !

Initialisation :
Pour n = 0 0≤ 2 ≤ 2
P(0) vraie.

Heredité : Supposons que 3-Un ≤2/4^n et montrons que 3-Un+1 ≤ 2/4^(n+1)

D’après la question 2) 3-Un+1 ≤1/4(3-Un)

⟺4(3- Un+1) ≤3-Un

or 3-Un ≤ 2/4^n d' où 4(3- Un+1) ≤ 2/4^n ⟺ 3- Un+1 ≤ 2/4^(n+1)

ta dernière ligne écrite ne me semble pas claire.

$3−un+1≤14(3−un)≤14(24n)3-u_{n+1} \le \frac{1}{4}(3-u_n) \le \frac{1}{4}(\frac{2}{4^n})$

Donc :

$3−un+1≤14(24n)3-u_{n+1} \le\frac{1}{4}(\frac{2}{4^n})$

D'où

$3-u_{n+1} \le\ \frac{2}{4^{n+1}$

CQFD

D'accord, merci beaucoup encore !

Donc pour le calcul de la limite de Un :

D'après le théorème des gendarmes :

lim Un = lim (3 - 2/4^n) = 3

C'est correct ?

D'accord, merci beaucoup encore !

Donc pour le calcul de la limite de Un :

D'après le théorème des gendarmes :

lim Un = lim (3 - 2/4^n) = 3

C'est correct ?

C'est à peu près ça, mais explique mieux dans ton devoir.

$\le 3 - u_n \le \frac{2}{4^n}$

$lim⁡n→+∞24n=0\lim_{n\to +\infty}\frac{2}{4^n}=0$

D'après le théorème des deux gendarmes

$3−un=0\lim_{n\to +\infty}\ 3 - u_n =0$

Donc :

$lim⁡n→+∞un=3\lim_{n\to +\infty} u_n =3$

C'est noté ! Bonne soirée à vous, merci infiniment pour votre aide !

De rien !

Bonne soirée.