Suites, conjectures & co...

Bonsoir j'aimerais qu'on m'aide pour un exercice de suites s'il vous plait.
t est la suite définie par $formdata=t0+formdata=t_0+%3d+0$ et, pour tout nombre entier naturel n :

$formdata=t_n_%2b_1+%3d+t_n+%2b+%5cfrac%7b+1%7d%7b%28n%2b1%29%28n%2b2%29%7d$

a) Ecrire $formdata=t_1$ , $formdata=t_2$ et $formdata=t_3$ sous la forme d'une fraction irréductible.
b) Emettre une conjecture sur l'expression de $formdata=t_n$ sous la forme d'une fraction.
c) Démontrer par réccurrence l'expression de $formdata=t_n$ conjecturée au b)

a) Pour t1 = 3/2, t2 = 5/3 et t3 = 7/4
b) $formdata=tn+formdata=t_n+%3d+%5cfrac%7b1%7d%7bn%7d$ ?
c) Initialisation puis hérédité mais vu que je n'ai pas réussi à montrer tn...

Merci.

Bonjour,

a) les valeurs que tu donnes ne correspondent pas à $t_0=0$

Ne serait-ce pas plutôt $t_0=1$ ????

En plus l'expression de tn que tu conjectures ne correspond pas aux valeurs que tu as trouvées

Merci de vérifier ...

a) Bonjour, je suis désolé mais dans le livre il y est marqué $formdata=t0+formdata=t_0+%3d+0$

b) Sinon $formdata=tn+formdata=t_n+%3d+n-1$ ?

Si $t_0=0$ , comment as-tu trouvé t1 = 3/2, t2 = 5/3 et t3 = 7/4

Merci de mettre tes calculs.

$formdata=t1+formdata=t_1+%3d+0+%2b+%5cfrac%7b1%7d%7b%280%2b1%29%280%2b2%29%7d$
$formdata=t1+formdata=t_1+%3d+0+%2b++%5cfrac%7b1%7d%7b0%2b0%2b0%2b2%7d%0d%0a$
$formdata=t1+formdata=t_1+%3d+0+%2b++%5cfrac%7b1%7d%7b2%7d$
$formdata=t1+formdata=t_1+%3d+%5cfrac%7b0%7d%7b2%7d+%2b++%5cfrac%7b1%7d%7b2%7d$
$formdata=t1+formdata=t_1+%3d+%5cfrac%7b1%7d%7b2%7d$

$formdata=t2+formdata=t_2+%3d+%5cfrac%7b1%7d%7b2%7d+%2b+%5cfrac%7b1%7d%7b%281%2b1%29%281%2b2%29%7d$
$formdata=t2+formdata=t_2+%3d+%5cfrac%7b2%7d%7b3%7d$

$formdata=t3+formdata=t_3+%3d+%5cfrac%7b2%7d%7b3%7d+%2b+%5cfrac%7b1%7d%7b%282%2b1%29%282%2b2%29%7d$
$formdata=t3+formdata=t_3+%3d+%5cfrac%7b3%7d%7b4%7d$

Cette fois , tes calculs sont exacts avec $t_0$ =0 .

Pour conjecturer l'expression de $t_n$ observe bien

Le numérateur de $t_1$ est 1
Le numérateur de $t_2$ est 2
Le numérateur de $t_3$ est 3

Le numérateur de $t_n$ est ....

Le dénominateur de $t_1$ est 2
Le dénominateur de $t_2$ est 3
Le dénominateur de $t_3$ est 4

Le dénominateur de $t_n$ est ....

Tu conjectures donc que :

$tn=......t_n=\frac{...}{...}$

Ensuite, tu fais une récurrence pour le prouver.

$formdata=tn+formdata=t_n+%3d%5cfrac%7bn%2b1%7d%7bn%2b1%7d$

Revois le numérateur

$formdata=tn+formdata=t_n+%3d%5cfrac%7bn%7d%7bn%2b1%7d$

c'est bon.

tu passes maintenant à la récurrence

Initialisation :

On a $formdata=t0+formdata=t_0+%3d+0$ et $formdata=tn+formdata=t_n+%3d+%5cfrac%7bn%7d%7bn%2b1%7d$

$formdata=t0+formdata=t_0+%3d+%5cfrac%7b0%7d%7b0%2b1%7d$
$formdata=t0+formdata=t_0+%3d+0$

donc vraie

Hérédité :

On suppose qu'il existe n tel que : $formdata=tn+formdata=t_n+%3d+%5cfrac%7bn%7d%7bn%2b1%7d$
On souhaite alors montrer que $formdata=t_n_%2b_1+%3d+%5cfrac%7b1%7d%7b%28n%2b1%29%28n%2b2%29%7d$

On sait que $formdata=t_n_%2b_1+%3d+t_n++%5cfrac%7b1%7d%7bn%2b2%7d$
$formdata=t_n_%2b_1+%3d+%5cfrac%7bn%7d%7bn%2b1%7d++%5cfrac%7b1%7d%7b%28n%2b2%29%7d$
$formdata=t_n_%2b_1+%3d+%5cfrac%7b1%7d%7b%28n%2b1%29%28n%2b2%29%7d$

La propriété est héréditaire, vraie pour n = 0.
On a bien : pour tout n ≥ 0 $formdata=tn+formdata=t_n+%3d+%5cfrac%7bn%7d%7bn%2b1%7d$

oui pour l'initialisation.

Revois le principe de l'hérédité.

Ce que "tu souhaites montrer" n'est pas ce qu'il faut montrer...

On souhaite alors montrer que $tn+1=......t_{n+1}=\frac{...}{...}$

(remplace tout simplement n de $t_n$ par n+1 pour écrire l'expression de $t_{n+1}$ à démontrer ).

$formdata=t_n_%2b_1%3d%5cfrac%7bn%2b1%7d%7bn%2b1%2b1%7d$

$formdata=t_n_%2b_1%3d%5cfrac%7bn%2b1%7d%7bn%2b2%7d$

et après je ne vois pas...

C'est bien ce qu'il faut démontrer.

Tu sais que

$tn+1=tn+1n+1)(n+2)t_{n+1}=t_n+\frac{1}{n+1)(n+2)}$

Dans cette expression, tu remplaces $t_n$ par l'hypothèse de la récurrence, c'est à dire $nn+1\frac{n}{n+1}$

Après transformation, tu dois trouver

$tn+1=n+1n+2t_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$