Puissances d'irrationnels

Bonjour à tous.
Un petit problème classique :
Déterminer un nombre positif irrationnel a, et un nombre positif irrationnel algébrique b, tels que $a^b$ soit rationnel.
Pour justifier cotre réponse, afin que cette « énigme » soit amusante, vous n’avez pas le droit d’utiliser le théorème de G…-S …
Bonne recherche.

Bonjour Mathtous ,

Sans utiliser le théorème de G..._S..., je verrais bien un petit raisonnement amusant autour de $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$

Bonjour Mtschoon,
Sauf à ne pas vouloir déflorer le sujet (s'il intéresse quelqu'un d'autre),
ton nombre √ $2^{√2}$ est-il rationnel ?

Bonsoir Mathtous,

Je dirais qu'il n'est pas possible d'être sûr de l'irrationalité de $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ ( vu que le théorème de G-S ne doit pas être utilisé)

Si personne d'autre ne répond, je t'indiquerai ma proposition.

Voici ma proposition avec des √2

Evidemment, Mathtous, si tu en as une autre, elle sera la bienvenue !

$2\sqrt 2$ est irrationnel, mais $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ est-il irrationnel ?

Une réponse à la question posée, en l'ignorant.

Hypothèse: $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ est rationnel.

Dans ce cas, la réponse est donnée avec :
$a=2a=\sqrt 2$ et $b=2b=\sqrt 2$

Hypothèse : $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ est irrationnel.

$\(sqrt 2^{\sqrt 2})^{\sqrt 2}=\sqrt 2^2=2$

Dans ce cas, vu que 2 est rationnel, la réponse est donnée avec :
$a=22a=\sqrt 2^{\sqrt 2}$ et $b=2b=\sqrt 2$ ,

CQFD.

Bien sûr, le théorème de Gelfond-Schneider prouve que $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ est irrationnel, mais cela n'est pas utile ici de le savoir, vu que les deux cas sont envisagés.

Bonjour Mtschoon,
Bien entendu, c'est également la solution à laquelle j'ai songé.
Toutefois, certains logiciens (tels Browser) adeptes de la "logique intuitionniste", rejettent cette solution comme non constructive : l'ignorance de la nature de √ $2^{√2}$ permet de prouver l'existence d'une solution mais pas d'en exhiber une.
Quel est ton avis sur la question ?

Je suis tout à fait de cet avis .

Si on s'impose de ne pas tenir compte de l'irrationalité de $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ , on prouve qu'il y a nécessairement une solution, mais on ne peut pas dire laquelle...

Je n'ai pas approfondi le théorème de Gelfond-Schneider pour prouver l'irrationalité de $22\sqrt 2^{\sqrt 2}$ .

Si tu connais la démonstration, et si un jour tu as le temps, ce serait très bien de la donner (au moins les grandes lignes) à condition qu'elle soit "abordable" bien sûr !

Trop difficile pour moi.
J'ai donc cherché si on pouvait démontrer l'irrationalité de √ $2^{√2}$ (ou celle de $2^{√2}$ ) sans démontrer pour autant qu'il est transcendant : fiasco.

Merci Mathtous de t'être penché sur le problème.