injection , surjection


  • N

    bns qui peut m'aider
    montrer que une fonction f : X → Y est injective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X


  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques idées éventuelles,

    Il faut bien sûr faire partie directe et partie réciproque.

    Une piste possible pourla partie directe

    Soit f injective de X vers Y

    Tu discutes suivant f(X),

    1er cas f(X)=∅

    Tu peux prouver que X=∅
    raisonne par l'absurde.
    Si X≠∅, X contient au moins un élément x
    f étant une application de X vers Y, cet élément x a une image y dans f(X) donc f(X)≠∅
    Contradiction

    2ème cas f(X)≠∅

    Soit y un élément quelconque de f(X)
    y admet , dans X, un antécédent unique x par f
    on peut appeler g(y) cet élément x : g(y)=x

    alors : gof(x)=g[f(x)]=g(y)=x

    donc gof=IdXgof=Id_Xgof=IdX

    Explicite cela et passe à la partie réciproque.


  • N

    est ce que en peut résonner sans utiliser la partie directe? de plus j'ai pas compris comment x=g(y) merci de me mieux expliquer 🙂


  • mtschoon

    A cause du "si et seulement si", il faut impérativement faire les deux parties (directe et réciproque)

    Pour x=g(y) : je te suggère de faire des schémas qui éclairent le raisonnement.

    y de f(X) admet ,dans X, un antécédent unique x, dont x peut être considéré comme l'image de y par une application g de f(X) vers X.


  • N

    merci bien maintenant si on veut montrer f : X → Y est surjective si et seulement si X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que f∘g soit égale à l'application identité sur Y


  • mtschoon

    J'espère que tu as fait la partie réciproque pour l'injection, vu que tu passe à la surjection

    Pour la surjection, tu utilises la même démarche ( partie directe et partie réciproque)

    Je te mets des pistes ( à expliciter ) pour la partie directe.

    Soit f surjective de X vers Y.

    Tu discutes suivant Y

    1er cax : Y=∅

    En raisonnant par l'absurde, tu prouves que X=∅

    2ème cas : Y≠∅

    Soit y un élément quelconque de Y
    y admet au moins un antécédent x de X.
    x=g(y) ( tu fais l'explication)

    y=f(x)=f[g(y)])=fog(y)

    donc fog=IdYfog=Id_Yfog=IdY

    Tu fais maintenant la partie réciproque.


  • mtschoon

    Si tu veux quelques pistes sur la ( ou les ) parties réciproques, demande ici.


  • N

    bon pour la partie rec j'ai pensé a gof=idX et puisque l'app idX est injective par def donc gof est injective donc par csq et d’après les résultat du cours f est injective mais la partie direct j'ai pas totalment compris sur tout pour la surjection et merci bien 😄


  • mtschoon

    cela est bien confus...

    Si tu parles de la partie réciproque relative à l'injection, ton raisonnement n'est pas bon.

    Il faut partir de :
    X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X
    etDEMONTRER que f est injective.


  • mtschoon

    Si tu n'y arrives pas, je t'indiquerai une possibilité.


  • N

    j'ai pas cmpris


  • mtschoon

    Une explication possible pour la partie réciproque relative à l'injection.

    Hypothèse: X est l'ensemble vide ou il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X

    Conclusion à démontrer : f est injective

    DEMONSTRATION

    1er cas : X=∅

    tout élément de Y n'a aucun antécédent , donc au plus un antécédent, donc f injective.

    2eme cas : X ≠∅ ; il existe une fonction g : Y → X telle que g∘f soit égale à l'application identité sur X

    Soit x et x' deux éléments de X tels que f(x)=f(x')

    Vu que gof=IdXgof=Id_Xgof=IdX ,

    x= gof(x)=g[f(x)]=g[f(x')]=gof(x')=x'

    donc x=x'

    donc f injective.

    CQFD

    *Réfléchis à tout ça et détaille l'explication.

    Evidemment, on doit aider à faire l'exercice mais pas le faire !*


  • N

    oui bien sur merci bien 😄


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