Dérivées, DM. Tangente

Bonsoir, voici l'énoncé d'un exo sur les dérivées dont je ne suis pas sûr d'avoir bien compris :

Soit f la fonction f définie sur [-3;3] par f(x) = x/(√x²+1)

Démontrer qu'une équation de la tangente T à f au point d'abscisse 1 est y = 1/(2√2) x + 1/(2√2) puis la tracer et démontrer que T est au-dessus de la courbe f sur [0;3]

Donc là si j'ai bien compris le réel a sur l'équation de la tangente est égale à 1 et on me demande donc d'étudier en qq sorte une position relative.

f'(1)(x-1) + f(1)

Avec f'(1) qui s'obtient en dérivant la fonction f(x) puis calculer f'(1)
Et f(1) donc s'obtient avec la fonction f(x)

Est-ce bon?

Bonjour,

L'équation de T est bien y=f'(1)(x-1)+f(1)

En appelant y l'expression f'(1)(x-1)+f(1) , il faut prouver que , pour x∈[0,3], y-f(x)≥0

Bons calculs.

D'accord.

Donc d'abord, je trouve l'équation de la tangente en dérivant f(x), puis grâce à la dérivée calculer f'(1)

f(x) = x/(√x²+1) de la forme

u.v
avec u(x) = x, u'(x) = 1
et v(x) = √x²+1, v'(x) = 1/(√x²+1) x 2x = 2x/(√x²+1)

Donc, f'(x) = u'v + uv'

= 1(√x²+1) + x(2x/(√x²+1))
= (√x²+1) + (2x²/(√x²+1))
= (√²+1)²+2x² / (√x²+1)
= x²+1+2x²/(√x²+1)
= 3x² + 1 / (√x²+1)

Voilà ce que je trouve pour la dérivée de f(x).

Ensuite, je calcule f'(1)

Cela donne : 3x1²+1/(√1²+1)
= 4/√2

Pour enfin calculer f(1)

Je trouve : 1/(√1²+1)
= 1/√2

Et j'applique le tout

y = f'(1)(x-1)+f(1)
y = 4/(√2)(x-1)+1/(√2)

Je développe ensuite,

y = (4/√2x - 4/√2) + 1/√2

Mais après je bloque, fin j'pense pas que ça soit correcte...

Merci.

Je crois voir une erreur à V'(x)

Rappel : La dérivée de √W est W'/(2√W)

Je te donne la dérivée pour que tu puisses recompter :

$f'(x)=\frac{1}{(x^2+1){\sqrt{x^2+1}}$

Mais j'trouve pas ça normal. Fin j'comprends pas mon erreur

V(x) = √x²+1 qui est de la forme √W

W(x) = x²+1
W'(x) = 2x

Donc, V'(x) = 2x/(2√x²+1)

Je refais tous

f'(x) = u.v
= u' x v + u x v'

= 1 x (√x²+1) + x x(2x/(2√x²+1))

= √x²+1 + 2x²/(2√x²+1)

= (√x²+1)² + 2x²/(2√x²+1)

= 2x²+1 + 2x²/(2√x²+1)

= 4x²+1/(2√x²+1)

J'vois toujours pas en refaisant, mise à part que j'ai oublié le 2 au dénominateur mais sinon...

Mais, si j'ai bien lu, f(x) est un quotient.

Alors, utilise la dérivée d'un quotient, non celle d'un produit.

Ah ouais mince...

Donc, finalement f(x) est de la forme u/v

f'(x) = u'.v-u.v'/v²

= (√x²+1) - (2x²/2√x²+1)/(√x²+1)

= (√x²+1) - (x²/√x²+1)/(√x²+1)

= x²+1-x²/(√x²+1)/(√x²+1)

= 1/(√x²+1)/(√x²+1)

Par contre là, je vois pas comme je pourrais faire pour avoir ce que vous avez obtenus càd : 1/(x²+1)√x²+1

V²=x²+1.

Ah oui...

Je reprends à partir de

= (√x²+1) - (2x²/2√x²+1)/(√x²+1)²

= (√x²+1) - (2x²/2√x²+1)/(x²+1)

= x²+1-x²/(√x²+1)/(x²+1)

= 1/(√x²+1)/(x²+1)

Mais j'trouve toujours pas la fonction dérivée que vous obtenez.

J'ai 1/un quotient/un quotient

Voilà mon pb

$1ab=1a×1b=1ab\frac{\frac{1}{a}}{b}=\frac{1}{a}\times \frac{1}{b}=\frac{1}{ab}$

D'accord. Je vois.

Après on me demande de la tracer cette tangente.

Moi ma méthode est celle-ci

Etant donnée que la tangente est de la forme ax+b j'en déduis que a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine. Ici a = 1/2√2 et b = 1/2√2 (environ égale à 0.70)

Je peux essayer de prendre les valeurs approchés de a et de b. Et je sais aussi que cette tangente passe par le point d'abscisse 1.

Ma méthode est-elle juste?

a et b sont bons.

Effectivement, pour x=1, tu es au point de contact de la tangente avec la courbe.

Pour obtenir un autre point dont les coordonnées sont simples pour tracer la tangente, pense à x=-1

Ah oui.. Mais j'ai pas finit la question 1.

J'ai seulement trouvé la dérivée de la fonction f. Il faut que je finisse de calculer la tangente, et montrer qu'elle est égale à y = 1/2√2x + 1/2√2

Donc...

y = f'(1)(x-1)+f(1)

= 1/(1²+1)(√1²+1)(x-1)+1/(√1²+1)

= 1/(2√2)(x-1)+1/(√2)

= 1/2√2 x + .../(√2)

Est-ce juste jusque là ?

Si oui je bloque après pour trouver ce qu'on me demande... J'arrive pas à savoir comment mettre 2√2 à l'autre dénominateur.

Il n'y a aucune difficulté .

Tu développes et simplifies.

$y=122(x−1)+12y=\frac{1}{2\sqrt 2}(x-1)+\frac{1}{\sqrt 2}$

$y=122x−122+12y=\frac{1}{2\sqrt 2}x-\frac{1}{2\sqrt 2}+\frac{1}{\sqrt 2}$

$y=122x+12(−12+1)y=\frac{1}{2\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}(-\frac{1}{2}+1)$

Tu termines seul .

y = 1/2√2x - 1/√2 ( - 1/2 + 2/2 )

y = 1/2√2x - 1/√2 + 1/2

y = 1/2√2x - 1/√2 + 1x√2/2x√2

y = 1/2√2 x - 1/√2 + √2/2√2

dur dur...

$y=122x+12(−12+1)y=\frac{1}{2\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}(-\frac{1}{2}+1)$

$y=122x+12(12)y=\frac{1}{2\sqrt 2}x+\frac{1}{\sqrt 2}(\frac{1}{2})$

$y=122x+122y=\frac{1}{2\sqrt 2}x+\frac{1}{2\sqrt 2}$

Super merci bcp.

Reprenons pour l'ultime question. Il m'est demandé après de démontrer que pour tout réel a f(x) est situé sous la tangente au point d'abscisse a sur [0;3]

Qu'en est il pour a<0

Donc remplacer les x par a, et appliqué la différence de la fonction f et de la tangente.

f(x) - y(x)

a/(√a²+1) - 1/(2√2)a + 1/(2√2)

a/(√a²+1) - a/(2√2)

(2√2)a - a/(2√2)(√a²+1)

Voilà je bloque ensuite...

Seulement une réflexion relative à cette ultime question.

Je suppose que tu as voulu écrire

Il m'est demandé de démontrer que pour tout réel a > 0, la courbe est située sous la tangente au point d'abscisse a .

Je ne vois pas l'intérêt de [0,3]...?

Bien sûr, pour a>0, tu peux trouver l'équation de la tangente (T) au point d'abscisse a : y=f'(a)(x-a)+f(a), puis de prouver que f(x)-y<0, mais cela , vu les radicaux, ne me semble pas simple.

Il y a une autre méthode, mais faut-il que tu la connaisses, ce que j'ignore.

Tu calcules la dérivée seconde : f"(x) , qui est la dérivée de f'(x).
Tu as donc ainsi f"(a).
Tu trouves facilement que pour a >0 , f"(a) < 0 donc la courbe est située sous la tangente au point d'abscisse a.
on dit que f est concave sur ]0,+∞[

mais tu ne peux utiliser cette propriété que si elle a été vue en cours...

Conséquence :la fonction f est impaire, donc la courbe est symétrique par rapport au point O.
Par symétrie, pour a < 0 , la courbe est située au dessus de la tangente au point d'abscisse a.
on dit que f est convexe sur ]-∞,0[

Voilà tout ce que je peux te dire sur cette question.

Il s'agit d'une question ouverte, il est dit sur mon énoncé

"Dans cette question toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiation même non fructueuse sera prise en compte dans l'évaluation"

Donc dans ces cas là, que pourrais-je répondre pour avoir les points?

Faire f(x) - y(x) est m'arrêter à mi chemin? Où alors, écrire votre conséquence?

Attention !

Même si tu n'as pas fait tout le parcours pour a>0, vu que la réponse pour a > 0 est donnée dans l'énoncé, tu peux très bien expliquer ( en prouvant que la fonctionf est impaire ) la conclusion pour a < 0.

Remarque : l'essai de calcul que tu as fais précédemment pour f(x)-y(x) n'est pas bon car tu mélanges les x et les a .

J'comprends pas, fonction impaire on ne là pas vu ça !

Comment je peux répondre à cette question de manière simple !

Mais on a vaguement évoqué la dérivée de la dérivée donc j'peux le mettre sur mon DM

Bizarre...

Fonction impaire sur R :

Pour tout x de R : f(-x)=-f(x)

La représentation graphique de f admet O comme centre de symétrie.

Fais la courbe pour t'en apercevoir.

A toi de voir ce que tu peux mettre en fonction de tes connaissances.

Ce n'est pas moi qui peux répondre à ta place !

Bon travail.

D'accord. Merci.