Conjecturer le comportement d'une suite à l'infini et démontrer qu'elle est arithmétique


  • M

    Bonjour, je suis en terminal S et je rencontre des difficultés sur un exercice de maths sur les suites arithmétiques.

    L’énoncé :
    Soit la fonction U défini par U0=1/2 et pour ou entier natrel n Un+1= Un/(1+Un) et la suite t défini sur N par Tn=1/Un+1

    1. A laide de la calculatrice conjecturer le comportement à l'infini de la suite : résolue
    2. Démontrer que T est arithmétique :
      Je sais qu'une suite arithmétique est tel que Un+1=Un+r ou Un=U0*nr
      mais pour Tn=1/Un+1 je ne vois pas comment faire..
      au départ j'ai considéré Un+1=Tn+1 donc j'ai posé
      Tn+1=1/(Un+1)+1=1/Un/(1+Un) mais ça ne me menait à rien... 😕
      quelles serait mes pistes possible ?
      3)exprimer Tn puis Un en fonction de n :
      Je pense qu'a partir de la résolution précédente je devrais m'en sortir mais ça me bloque 😕
    3. En déduire les limite de la suite U:
      J'ai déjà émis une conjecture, je dois la valider je pense ici.

    quelqu'un pourrait m'éclairer s'il vous plait ? 🙂


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste pour la suite arithmétique,

    Est-ce bien
    tn=1un+1t_n=\frac{1}{u_n}+1tn=un1+1 ?

    Si c'est le cas :

    tn+1=1un+1+1t_{n+1}=\frac{1}{u_{n+1}}+1tn+1=un+11+1

    tn+1=1+unun+1t_{n+1}=\frac{1+u_n}{u_{n}}+1tn+1=un1+un+1

    tn+1=1un+unun+1t_{n+1}=\frac{1}{u_n}+\frac{u_n}{u_n}+1tn+1=un1+unun+1

    tn+1=1un+1+1t_{n+1}=\frac{1}{u_n}+1+1tn+1=un1+1+1

    Tires la conclusion et poursuis?

    En regroupant les 2 premiers termes:

    tn+1=(1un+1)+1t_{n+1}=(\frac{1}{u_n}+1)+1tn+1=(un1+1)+1

    tn+1=tn+1t_{n+1}=t_n+1tn+1=tn+1


  • M

    je vois mais je ne comprends pas, comment etes vous passez de la ligne

    Tn+1= [1/1+(Un+1) ]+1 à
    Tn+1=[1+Un/Un]+1


  • mtschoon

    Si tu parles du passage de la première ligne du calcul à la seconde, j'ai remplacé Un+1U_{n+1}Un+1 par son expression en fonction de UnU_{n }Un


  • M

    Mais ca devrais faire :
    Tn+1= 1/(Un/(1+Un))+1
    Comment arrivez vous a la 2e ligne pour Tn+1 ?


  • mtschoon

    Inverse d'un quotient :

    1ab=1×ba=ba\frac{1}{\frac{a}{b}}=1\times \frac{b}{a}=\frac{b}{a}ba1=1×ab=ab


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