3. Raisonnement par récurrence, suite auxiliaire, programme...

Raisonnement par récurrence, suite auxiliaire, programme...

  • R

    Salut a tous ! 🙂

    Alors voila , j'ai un exercice a faire sur les suites et plus particulièrement le raisonnement par rérécurrence :

    On considére la suite (Un) définis sur N par :
    U0 = 1
    Un+1 = 1/2 Un + n-1

    1.a) Demontrer que pour tout entier supperieur ou égal a 3, Un >ou = 0.

    b) On a concu l'algorithme suivant (voir photo jointe)
    Programmer cet algorithme à l'aide d'un logiciel ou d'une calculatrice, puis l'exécuter pour des valeurs de M telles que 5, 10 , 100 , 1000.

    c) En déduire une conjecture sur le comportement à l'infini de la suite (Un)

    d) Montrer que, pour tout entier n suppérieur ou égal a 4 :
    Un>= n-2

    e) En deduire la limite de la suite (Un)

    1. On définis que la suite (Vn) sur N par :
      Vn = 4Un - 8n +24

    a) Demontrer que la suite Vn est une suite geometrique strictement decroissante et dont on donnera le premier terme et la raison

    b) Demontrer que pour tout entier naturel n :
    Un = 7/(2)^n + 2n -6

    c) Verifier que, pour tout entier naturel n, Un = xn + yn' où (xn) est une suite geometrique et (yn) une suite arithmetique, dont on precisera pour chacune le premier terme ainsi que la raison.

    d) En déduire l'expression de :
    k=n
    Sn = E(SIGMA) Vk
    k = 0

    En fonction de n, entier naturel

    1. a)
      Montrons par récurence que pour tout n>=3, Un >=0

    Initialisation :
    Pour U3 on a :
    U 0 + 1 = 1/2 * 1 + 0 -1 = -1/2
    U2 = ... = -1/4
    U3 = ... = 7/8

    Donc U3> 0

    Heredite :
    Supposons que pour un certain entier k, tel que 3<k
    = 0,
    montrons que la propriete de recurrence est vrai au rang k+1 :

    1/2 Uk + k -2
    Or k > 3 et 3> 2, donc k-2 > 0, et Uk >0, car 1/2Uk >0
    Par consequent Uk+1> 0
    La propriete est hereditaire

    b)J'ai rentrer comme programme :
    ? -> M
    0 -> N
    1 -> U
    While U < M
    N+1 -> N
    1/2 U + N-1 ->U
    Whileend
    N(triangle noir)

    Mais, mon programme ne fontionne pas puisque j'obtien :
    Pour M 5 =5
    M 10 = 7
    M100 = 52
    M1000 = 502

    Alors que quand je regarde l'evolution de la suite dans le menu recurse, les donnes ne sont pas les memes !!

    c) On conjecture que la suite est croissante et tend vers + infinis

    d)
    Montrons par recurence que pour tout n > = 4, Un>=n-2

    Initialisation :
    Pour U4 on a :
    U 0 + 1 = 1/2 * 1 + 0 -1 = -1/2
    U2 = ... = -1/4
    U3 = ... = 7/8
    U4 = 39/16 = 2.43
    Donc U4> n-2
    2.43 > 4-2

    Heredite :
    Supposons que pour un certain entier k, tel que 4>k>n , Uk >= n-2,
    montrons que la propriete de recurrence est vrai au rang k+1 :

    1/2 UK + K -2
    Or K > 4 et n-2 < 4 <+ infinis
    De plus 1/2Uk >0.
    La propriete est hereditaire

    Je ne suis pas sur de ce que j'ai fait, et au de la de ça, je ne sais pas comment continuer !
    Merci d'avance 🙂

    fichier math

    N 1 réponse
  • N
    Modérateurs

    Bonsoir Retxed,

    Vérifie la programmation.

    R 1 réponse
  • R

    Bonsoir, et merci de ta réponse Noemi 🙂

    J'ai vérifier, je ne vois pas quoi modifier !
    Ce programme sert-il bien à afficher le rang n ou sert-il a autre chose?

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