les solutions d'une Equation avec les fonctions racines


  • E

    bonjour,

    Soit à résoudre l’équation :

    e1:1+z3−1−z3=1−z26e_{1} : \sqrt[3]{1+z}-\sqrt[3]{1-z}=\sqrt[6]{1-z^{2}}e1:31+z31z=61z2

    posant a=1+z3a=\sqrt[3]{1+z}a=31+zet b=1−z3b=\sqrt[3]{1-z}b=31z

    e1e_1e1 est equivalente à e2e_2e2 :

    e2: ab−ba=1e_2:\ \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}-\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}=1e2: baab=1

    posant t=abt=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}t=ba, et ttt verifier :

    e3: t2−t−1e_{3}:\ t^2-t-1e3: t2t1

    ma question :

    Résoudre l'équation e3e_3e3 et en déduire la solution α\alphaα de l’équation e1e_{1}e1 ?

    Mon Essai

    en effet,

    le discriminant de e3e_3e3 est δt=5≥0\delta t=5\geq 0δt=50 donc il y a deux solutions distinct

    t=abt=\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}t=ba

    a=tb⟷a=t2b\sqrt{a}=t\sqrt{b} \longleftrightarrow a=t^2ba=tba=t2b

    (t1,t2)∈1±52⟷s: {a=t12b  a=t22b(t_1, t_2) \in {\dfrac{1\pm \sqrt{5}}{2}} \longleftrightarrow s:\ \begin{cases} a=t_1^2b \ \ a=t_2^2b \end{cases}(t1,t2)21±5s: {a=t12b  a=t22b

    • je suis bloqué ici j arrive pas a résoudre le system S

    • Est ce que mon resonamant est correcte ? est ce qu'il y a d'autre méthode pour resoudree3e_{3}e3

    merci pour votre attention


  • mtschoon

    Bonjour,

    Ce qui me gène dans ce que tu as fait, ce ne sont pas tes calculs proprement dits mais les conditions d'existence absentes...

    Sur quel ensemble travailles_tu ? R ?

    a et b sont-ils strictement positifs ? tu sembles le supposer vu que tu écrist=sqrtabt=\frac{sqrt a}{\sqrt b}t=bsqrta , mais il faut la preuve...

    En voie de conséquence, t est strictement positif

    Alors, sur les deux solutions que tu as calculées pour t, une seule convient !

    Il ne doit rester que : a=(1+52)2ba=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^2ba=(21+5)2b

    Pour la fin du calcul :

    élève à la puissance 3 : a3=(1+52)6b3a^3=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^6b^3a3=(21+5)6b3

    retourne à z :

    1+z=(1+52)6(1−z)1+z=(\frac{1+\sqrt 5}{2})^6(1-z)1+z=(21+5)6(1z)

    Tu as une équation du premier degré d'inconnue z

    La réponse ne sera pas très belle... (valeur approchée 0.89)

    Bon travail.


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