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Modéré par: Thierry, mtschoon, Noemi
Fin 

problèmes d'aire (fonctions)

- classé dans : Fonctions & opérations

Envoyé: 03.09.2014, 14:23

Galaxie


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Bonjour
Je n'arrive pas à résoudre le petit 2 merci de votre aide.

1) Sur un segment [AB] de longueur 10, on place un point M.
On construit deux carrés AMCD et MBEF.

a) On pose x = AM.
Exprimer l'aire des carrés AMCD et MBEF en fonction de x.
b) Prouver que la somme des aires des deux carrés s'exprime par la fonction f définie par
f (x) = 2x − 20x + 100 .
c) Montrer que f(x) pourra alors s’écrire sous cette forme : f(x) = 2(x-5)²+50 Tracer dans un repère convenablement choisi la courbe de f.
d) En déduire la position du point M pour que la somme des aires des deux carrés soit minimum. (ici j'ai lu le point du sommet c'était x = 5 l'aire est de 50 j'ai pris ce point pour réponse)

2) Obtient-on un résultat analogue en calculant le minimum de la somme des aires de deux disques de diamètres respectifs [AM] et [MB] ?
Faire une figure et résoudre cette nouvelle situation.

3) On considère maintenant un carré de côté [AM] et un disque de diamètre [MB].


a) exprimer a somme des aires en fonction de x.
B) tracer la courbe de la fonction avec une calculatrice et lire une valeur approchée du minimum
c justifier de façon algébrique que 'aire est minimale lorsque x vaut 10 pi / pi+4

J'ai fais tout le petit 1 mais je suis complètement bloquée au niveau du petit 2
Merci de votre aide


modifié par : mtschoon, 04 Sep 2014 - 08:42
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Envoyé: 04.09.2014, 08:38

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Bonjour,

Piste pour le 2)

Je suppose que tu as fait le schéma.

L'aire d'un disque de diamètre d est 2$ \frac{\pi d^2}{4}

L'aire du disque de diamètre [AM] est 2$ \frac{\pi AM^2}{4}=\frac{\pi x^2}{4}

L'aire du disque de diamètre [MB] est 2$ \frac{\pi MB^2}{4}=\frac{\pi (10-x)^2}{4}

Soit g(x) la somme de ces 2 aires :

g(x)=\frac{\pi x^2}{4}+  \frac{\pi (10-x)^2}{4}

Tu peux mettre ∏/4 en facteur et tu trouves :

\fbox{g(x)=\frac{\pi}{4}f(x)}

Tu tires les conclusions.
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Envoyé: 04.09.2014, 18:41

Galaxie


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D'accord merci je l'ai fais le résultat est donc analogue.

Mais je n'arrive pas a faire la toute dernière question pourriez vous m'aider svp ?
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Envoyé: 04.09.2014, 19:06

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Pour le 2) : la valeur de x est analogue pour le minimum : x=5

ce minimum n'est pas le même : g(5)=\frac{\pi}{4}f(5)

Piste pour le 3)

Inspire toi des questions précédentes : ajoute l'aire du carré de côté [AM] avec l'aire du disque de diamètre [MB]

Indique nous ce que tu trouves.

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Envoyé: 05.09.2014, 08:49

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D'accord oui j'ai compris je n'ai pas exactement la même fonction car je n'ai pas mis Pi/4 en facteur j'ai gardé la première équation que vous aviez comme moi.

Pour le 3) je trouve x² +π (10-x)²/2

J'ai essayé de développer je trouve alors x² +100 π /2 -20xπ +x²/2 π
Cependant je ne sais pas comment trouver le sommet d'une telle équation car on vient de commencer le chapitre et l'année dernière on faisait un tableau de valeur pour trouver deux antécédents avec la même image mais ici ça ne fonctionne pas.. Comment faire svp ? icon_confused
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Envoyé: 05.09.2014, 09:38

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Pour le 2, tu dois impérativement mettre ∏/4 en facteur.

Revois si besoin.

Pour le 3, fais attention

En appelant h(x) la somme des 2 aires

h(x)=x^2+\frac{\pi(10-x)^2}{4}

As tu fais la représentation graphique de la fonction h sur ta calculette pour lire une valeur approchée du minimum ?

Donne nous la valeur approchée de ce minimum (si tu l'as lu)


modifié par : mtschoon, 05 Sep 2014 - 09:40
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Envoyé: 05.09.2014, 18:05

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Pour le 2) j'ai donc mis en facteur et je ne trouve pas pareil je vous mets ce que je trouve

π *x² +π* (10-x)² / 4
4π/4 *(x²/4 +π * ( 10 -x) ²/4 )
4π/4 (2x²-20x+100)
Donc je ne trouve pas π/4 et je ne vois pas où est ma faute

Ensuite pour le 3) j'ai trouvé
Oui j'ai lu 44,635
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Envoyé: 05.09.2014, 19:55

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2) A la première ligne, ce n'est pas ∏x², c'est ∏x²/4

3) Si tu parles de l'abscisse, a valeur approchée de x n'est pas bonne

modifié par : mtschoon, 06 Sep 2014 - 09:59
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Envoyé: 05.09.2014, 20:15

Galaxie


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Oui effectivement j'ai trouvé le même résultat ! 😄

Pour le 3) j'ai refais une table et la je trouve x= 6 = 61,132 alors que pour x= 5 je trouve 64,269
La valeur approchée du minimum est de 61,132 lorsque x=6 ?
Est ce que c'est juste ou pas ? icon_confused

modifié par : KN, 06 Sep 2014 - 07:37
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Envoyé: 06.09.2014, 09:58

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Je n'ai pas de Casio, mais avec ta calculette, tu dois avoir une notice. Consulte la.

Pour "voir" correctement le minimum de la 3), je t'indique la fenêtre
(window sur certaines calculatrice) que tu peux prendre

xmin=0
xmax=10
ymin=0
ymax=100

Je te donne ce que tu dois lire :

Position de M pour que la somme des aires soit minimum (point le plus "bas" de la parabole) :
x≈4.4
y≈44
Evidemment, ne recopie pas ces valeurs si tu ne les trouves pas, cela ne te servirai à rien...il faut que tu saches te servir de ta calculette.
Top 
Envoyé: 06.09.2014, 12:59

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D'accord en effet je m'étais trompée sur la place du pi dans l'équation d'où mes fautes par la suite.. Et je trouve bien pour x= 4,5 y= 44,008 donc c'est à peu près ça le minimum. Cependant je ne trouve pas comment résoudre cette fameuse dernière question ? Merci pour ce que vous avez fait en tout cas
Top 
Envoyé: 06.09.2014, 15:56

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Pour la fin, je te donne quelques indications.

Tu developpes h(x) , tu le simplifies au mieux et tu dois trouver après calculs :

h(x)=\frac{4+\pi}{4}x^2-5\pi x+25\pi

h est un polynôme du second degré de la forme h(x)=ax²+bx+c

Regarde ton cours.

a > 0 donc le minimum est pour x=\frac{-b}{2a}

Tu obtiendras ainsi la réponse demandée.

Bons calculs.
Top 
Envoyé: 06.09.2014, 17:56

Galaxie


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dernière visite: 09.12.16
J'ai trouvé comme vous en développant :)
Cependant j'aurais une dernière question : on nous a appris à chercher le discriminant : ici = (-5) ² -4*( π +4)/4 *25
Or je trouve environs -153
Donc dans mon cours cela démontre que le trinôme ne possède pas de solution car un carré ne peut être négatif ?

De plus en faisant avec votre formule qui représente alpha dans mon cours donc au minimum également du sommet je trouve -(-5) / 2*4+π/4 ≈ 1,4 ?

modifié par : KN, 06 Sep 2014 - 18:01
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Envoyé: 06.09.2014, 21:06

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dernière visite: 10.12.17
Effectivement, le trinôme ne possède pas de solution qui l'annule.

Le parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.

Pour l'abscisse du minimum , avec la formule que je t'ai indiquée, tu dois trouver ce qui est écrit dans ton énoncé \frac{10\pi}{4+\pi}

Et bien sûr, cette valeur correspond à la valeur approchée lue sur le graphique.

modifié par : mtschoon, 06 Sep 2014 - 21:07
Top 
Envoyé: 06.09.2014, 21:18

Galaxie


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dernière visite: 09.12.16
Ah ! Enfin ! C'est bon j'ai trouvé le résultat !
Merci beaucoup pour votre aide et surtout votre patience je n'y serais jamais arrivée sans !
Top 
Envoyé: 06.09.2014, 21:32

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dernière visite: 10.12.17
De rien.

Tu as bien travaillé !
Top 
Envoyé: 23.09.2017, 19:38



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dernière visite: 24.09.17
Bonjour, j'ai le même dm pour tout ce qui est du début mais la dernière question est légèrement différente :
3) 3) On considère maintenant un carré de côté [AM] et un disque de diamètre [MB].
Démontrer que la somme des aires du carré et du disque est minimum lorsque le rayon du
disque est égal à 20/ π + 4

Je suis arrivée à x² + (πx²/4) - 5xπ + 25π je n'arrive pas à mettre ensemble les deux premiers termes x² et (πx²/4)

Merci pour votre aide.
Top 
Envoyé: 23.09.2017, 20:06

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dernière visite: 10.12.17
Bonsoir,

x^2+\frac{\pi}{4}x^2=x^2\(1+\frac{\pi}{4}\)=x^2\(\frac{4+\pi}{4}\)
Top 
Envoyé: 23.09.2017, 20:32



enregistré depuis: sept.. 2017
Messages: 3

Status: hors ligne
dernière visite: 24.09.17
Merci beaucoup mais même avec a= 4+pi/4 je tombe sans arret sur le minimum pour 10pi/4+pi... Mon énoncé est pourtant différent de celui de la personne au dessus. Je ne vois pas comment ni à quoi correspond le 20/pi+4. Je crois que je n'ai même pas compris la question.
Top 
Envoyé: 23.09.2017, 22:53

Modératrice


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dernière visite: 10.12.17
Ton énoncé te demande le rayon du disque

Le rayon du disque vaut \frac{10-x}{2}

Tu as x, donc il te reste à calculer \frac{10-x}{2}
Top 
Envoyé: 24.09.2017, 12:31



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dernière visite: 24.09.17
Merci beaucoup !! Je m'y met tout de suite.. Après des heures sur ce dm mon cerveau était un peu mal pour réfléchir et comprendre la dernière question !
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