Calcul matriciel.


  • P

    Bonsoir,
    Vraiment vraiment et vraiment, je bloque sur une étape, si quelqu'un peut m'indiquer ce que je dois faire s'il vous plait.

    L'exercice dit:
    Calculer ∀n≥3,an\forall n\geq 3,a^{n}n3,an avec a=0amp;1amp;−32 −1amp;0amp;12 −32amp;12amp;0a=\begin{matrix} 0 & 1 & \frac{-\sqrt{3}}{2}\ -1 & 0 & \frac{1}{2}\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} &0 \end{matrix}a=0amp;1amp;23 1amp;0amp;21 23amp;21amp;0 (Méthode de binôme)

    Alors, je bloque juste dans le calcule des valeurs propres... Pour mettre b=a−λi3b=a-\lambda i_{3}b=aλi3

    S'il vous plais, quelqu'un peut m'aider?
    Merci.


  • mtschoon

    Bonjour,

    Calcul des valeurs propres ?

    Bizarre ta question...

    Sauf erreur, la seule valeur propre me semble être 0 (de multiplicité 3)* (vérifie, j'ai fait vite)*

    Tu peux chercher le SEV associé à cette valeur 0 qui est Kerf (noyau de l'application linéaire f de matrice A) et tu pourras déduire que A n'est pas diagonalisable.

    Mais, es-tu sûr(e) d'être sur la bonne voie?

    Tu écris Méthode du binôme, alors, utilise laméthode du binôme pour calculer AnA^nAn avec n≥3.


  • P

    Exactement ! C'est ce que j'ai *pu conclure *moi aussi mais je n'ai pas pu le démontrer, c'est pour cela j'ai dis que je bloque dans le calcule des valeurs propres.

    En tout les cas, puisque b=a−λi=ab=a-\lambda i=ab=aλi=a
    il suffit de calculer an=i+na=n(n+1)2a2a^{n}=i+na=\frac{n(n+1)}{2}a^{2}an=i+na=2n(n+1)a2 n'est ce pas?

    Dans le cas ou A n'est pas diagonalisable, est ce que la seule méthode de calculer ana^{n}an est celle du Binôme?

    J'ai posé la question parce qu'il s'agit d'un QCM, est la valeur de ana^{n}an que j'ai trouvé n'a rien avoir avec les propositions de l'ouvrage.


  • mtschoon

    Un peu bizarre la formule écrite...

    Une suggestion,

    Vu que tu dois donner AnA^nAn pour n≥3, il est logique de commencer par calculer A3A^3A3 par la méthode de ton choix(même à la calculette, si ce n'est qu'un QCM)

    Tu dois trouver $a^3=\left(0 \ 0\ 0\0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0\right)$

    Par récurrence, pour tout n≥3, $a^n=\left(0 \ 0\ 0\0\ 0\ 0\0 \ 0 \ 0\right)$


  • P

    Je m’excuse pour le retard, j'avais beaucoup de travail à faire.

    A ouiii, j'ai calculé A³, et j'ai trouvé qu'effectivement c'est zéro pour toutes les lignes et les colonnes.

    Donc lorsque les Valeurs propres sont toutes nulles, an=(0amp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;0)a^{n}=\begin{pmatrix} 0& 0& 0\ 0 & 0 & 0\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}an=(0amp;0amp;0 0amp;0amp;0 0amp;0amp;0) ?


  • mtschoon

    Oui, vu que la seule valeur propre est nulle avec une multiplicité de 3, la matrice A est nilpotente d'indice 3 : Pour n ≥ 3, AnA^nAn est la matrice nulle.


  • P

    Ah d'accord

    Merciiii pour la nouvelle information !


  • mtschoon

    De rien. Bon travail.


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