Algèbre. Diagonalisation.


  • P

    Bonsoir.
    Je n'ai pas su comment résoudre la derniers question (6), si quelqu'un peut m'aider.
    Puisque l'exercice est enchaîné, je vais indiqué les résultats que j'ai trouvé dans les autres questions.

    Voici l'exercice:
    Soit la matrice A=(0amp;1amp;−1 −3amp;4amp;−3 −1amp;1amp;0)\begin{pmatrix} 0 & 1 & -1\ -3 & 4 & -3\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}(0amp;1amp;1 3amp;4amp;3 1amp;1amp;0)

    1)Trouver les valeurs propres relatives à A.

    J'ai trouvé spa=(1,2)sp a=(1, 2)spa=(1,2)
    avec multi(1)=2multi(1)=2multi(1)=2
    et multi(2)=1multi(2)=1multi(2)=1

    2) Déterminer l'espace associé à chaque valeur propre.

    J'ai trouvé e1=≺(1,1,0);(0,1,1)≻e_{1}=\prec (1,1,0);(0,1,1)\succe1=(1,1,0);(0,1,1)
    et e2=≺(1,3,1)≻e_{2}=\prec (1,3,1)\succe2=(1,3,1)

    3)A est elle inversible?

    deta=2≠0deta=2\neq 0deta=2=0 donc A est inversible.

    4)A est elle diagonalisable? Si oui effectuer la diagonalisation.

    On a spa=(1,2)∈rspa=(1,2)\in rspa=(1,2)r
    dime1=multi(1)=2=≺(1,1,0);(0,1,1)≻dim e_{1}=multi (1)=2=\prec (1,1,0);(0,1,1)\succdime1=multi(1)=2=(1,1,0);(0,1,1)
    et dime2=multi(2)=1=≺(1,3,1)≻dim e_{2}=multi (2)=1=\prec (1,3,1)\succdime2=multi(2)=1=(1,3,1)
    Donc A est diagonalisable. Ainsi :

    d=(1amp;0amp;0 0amp;1amp;0 0amp;0amp;2)d=\begin{pmatrix} 1 &0 &0 \ 0& 1&0 \ 0& 0& 2 \end{pmatrix}d=(1amp;0amp;0 0amp;1amp;0 0amp;0amp;2)

    et p=(1amp;0amp;1 1amp;1amp;3 0amp;1amp;1)p=\begin{pmatrix} 1 &0 &1 \ 1& 1&3 \ 0& 1& 1 \end{pmatrix}p=(1amp;0amp;1 1amp;1amp;3 0amp;1amp;1)

    5)Calculer an,∀n∈n∗a^{n}, \forall n\in n*an,nn

    On trouve an=((2−2n)amp;(2n−1)amp;(1−2n) (3−2n3)amp;(2n3−2)amp;(3−2n3) (1−2n)amp;(2n−1)amp;(2−2n))a^{n}=\begin{pmatrix} (2-2^{n}) & (2^{n}-1) & (1-2^{n})\ (3-2^{n}3) & (2^{n}3-2) &(3-2^{n}3) \ (1-2^{n}) &(2^{n}-1) & (2-2^{n}) \end{pmatrix}an=((22n)amp;(2n1)amp;(12n) (32n3)amp;(2n32)amp;(32n3) (12n)amp;(2n1)amp;(22n))

    6) Soient (un)(u_{n})(un) , (vn)(v_{n})(vn) et (wn)(w_{n})(wn), les suites réelle définies par récurrence par:

    ∀n∈n,{un+1=vn−wn vn+1=−3un+4vn−3wn wn+1=−un+vn u0=v0=w0=1\forall n\in n, \begin{cases} u_{n+1}=v_{n}-w_{n} \ v_{n+1}=-3u_{n}+4v_{n}-3w_{n} \ w_{n+1}=-u_{n}+v_{n} \ u_{0}=v_{0}=w_{0}=1 \end{cases}nn,{un+1=vnwn vn+1=3un+4vn3wn wn+1=un+vn u0=v0=w0=1

    donner l'expression de (un)(u_{n})(un) , (vn)(v_{n})(vn) et (wn)(w_{n})(wn), en fonction de n pour tout n de N*.

    C'est tout... Merci!


  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste pour la question 6), vu que c'est là où tu bloques.

    Tu sais que

    $\left{v_n-w_n=u_{n+1}\-3u_n+4v_n-3w_n=v_{n+1}\-u_n+v_n=w_{n+1}\right$

    Ce système peut s'écrire :

    $\left(\ 0\ \ \ 1\ \ -1\-3 \ \ 4\ -3\-1\ \ \ 1\ \ \ 0\right)\time \lef(u_n\v_n\w_n\right)=\lef(u_{n+1}\v_{n+1}\w_{n+1}\right)$

    c'est à dire :

    $\text{a\time \lef(u_n\v_n\w_n\right)=\lef(u_{n+1}\v_{n+1}\w_{n+1}\right)$

    Conséquence (à justifier à ta façon, en fonction de ton cours-éventuellement récurrence) :

    $\text{\left a^n\time \lef(u_0\v_0\w_0\right)=\lef(u_{n}\v_{n}\w_{n}\right)$

    c'est à dire (vu les valeurs de U0U_0U0, V0V_0V0, W0W_0W0)

    $\text{\left a^n\time \lef(1\1\1\right)=\lef(u_{n}\v_{n}\w_{n}\right)$

    Tu comptes et tu obtiendras ainsi les expressions de UnU_nUn, VnV_nVn et WnW_nWn


  • P

    Oooooh ! C'est très simple... Je n'en avait pas pensé du tout... Merciiiii!
    Est ce qu'il est plus utile de justifier la conséquence par récurrence? à savoir la relation est juste pour n et en vérifie pour n+1 ?

    Toute une petite question, ça concerne la question 3, pourquoi on nous a demandé si A est inversible ou non alors que je n'ai pas utilisé cette information. Est ce que j'ai raté quelque chose?


  • mtschoon

    Une récurrence ira très bien pour justifier rigoureusement la dernière formule écrite.

    En ce qui concerne ta question complémentaire:
    Pour A, la propriété d'être inversible et celle d'être diagonisable n'ont aucun lien entre elles.

    Evidemment, si les deux propriétés sont satisfaites ( inversible ET diagonalisable), la matrice A est plus "riche"
    Dans ce cas, A−1A^{-1}A1 existe; elle est elle aussi inversible (l'inverse de A−1A^{-1}A1 est A) ET elle est aussi diagonisable (a−1=pd−1p−1a^{-1}=pd^{-1}p^{-1}a1=pd1p1).

    Mais, cela ne sert pas aux questions demandées.


  • P

    Ah d'accord. Merciiiiii !


  • mtschoon

    De rien !


Se connecter pour répondre