DM suite numérique

Bonjour j'ai un exercice sur les suites numériques mais je ne comprends pas l'énoncé ci dessous :

La suite $U_n$ ) $_{n>0}$ est définie sur N{0} par $U_n$ =1/n(n+1)

1)a Vérifier que pour tout entier n≥1 : $U$ _{n+1} $U_n$ =-2/n(n+1)(n+2). En déduire les variations de la suite $U_n$ )

b) Décrire sans faire de calculs une autre méthode possible pour étudier les variations de la suite.

2)a En utilisant votre calculatrice émettre une conjecture sur le terme $U_n$ lorsque n prend de très grandes valeurs.

b) A l'aide du tableau de valeurs de la calculatrice donner le plus petit entier k tels que si n≥k alors $u_n$ < $10^{-4}$

c) On souhaite déterminer l'entier k trouvé à la question précédente à l'aide dun 'algorithme.
Recopier l'algorithme ci dessous et compléter les pointillés
Variables : N et U sont des nombres
Initialisations N prend la valeur de 1
U prend la valeur de 1/[N(N+1)]
Traitement : Tant que U ... $10^{-4}$ ( ma réponse : < )
N prend la valeur ...
U prend la valeur ...
Fin tant que
Sortie afficher N
Programmer le sur votre calculatrice vous ecrirez sur votre copie l'algorithme saisi.
Quelle valeur de N s'affiche a la fin de l'algorithme ?

Merci d'avance.

Bonjour,

Piste pour démarrer,

1)a)

$un+1−un=1(n+1)(n+2)−1n(n+1)u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+1)}$

Tu réduis ces deux fractions au même dénominateur n(n+1)(n+2), tu simplifies dle numérateur obtenu et tu trouveras la réponse.

Conséquence : $un+1−un<0u_{n+1}-u_n \lt 0$

Donc : $un+1<unu_{n+1}\lt u_n$

La suite $U_n$ ) est décroissante.

1)b) Sans faire les calculs, dis l'énoncé; c'est seulement le principe qui est demandé.

Pour x strictement positif, soit $f(x)=1x(x+1)f(x)=\frac{1}{x(x+1)}$

Sur ]0,+∞[, f est définie, dérivable et f'(x) < 0 donc f décroissante.

Essaie de poursuivre et indique nous ce que tu trouves, si besoin.