Equation fonction du second degré


  • M

    Bonjour, j'aurais besoin d'aide sur un exercice qui me pose enormement de probleme. Je ne comprend pas le cour, ni le procédé. Es ce qu'il y aurais une personne qui pourrais m'aider a réaliser cet exercice?
    Voila l'ennoncé:

    On cherche a résoudre l'équation:
    2x22x^22x2 -2x+1=0

    1/ Tracer sur l'écrn de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f : x→ 2x22x^22x2 -2x+1
    Conjecturer le nombre de solutions de l'équation proposée.

    2/ Montrer que f(x)= 2 ( x−1/2)2x-1/2)^2x1/2)2 + 1/2
    Conclure que le nombre de solutions de l'équation proposée.

    Je vous remercie d'avance si vous arriverez a résoudre ce problème.

    Bonne journée/soirée. 😄


  • mtschoon

    Bonjour,

    As-tu représenté la courbe sur ta calculette ?

    Si c'est le cas, tu as dû constater qu'elle ne rencontre pas l'axe des abscisses.

    Il n'y a donc aucune solution à l'équation : 2x²-2x+1=0


  • M

    Oui je les representé, et j'ai bien remarqué ceci.
    Mais je ne comprend pas la question 2 si il n'y a pas de solution d'equation.


  • mtschoon

    La question 2) te fait démontrer ce que tu as constaté sur le schéma : aucune solution à l'équation

    Précise clairement ce que tu as fait et ce que tu n'arrives pas à faire, à la question 2)


  • M

    Je n'ai absolument pas compris cette question.

    J'ai essayer de montrer qu'on peux la mettre sous la forme canonique, mais je n'y arrive pas.


  • mtschoon

    Pour la forme canonique, il y a deux façons, vu que la réponse est donnée.

    Le plus simple est de partir de 2(x-1/2)^2+1/2, de développer , de simplifier et de trouver 2x²-2x+1.
    Evidemment, cela n'est pas une démonstration, mais seulement une vérification.

    Si tu veux faire une véritable démonstration, c'est plus dur.

    Tu commences à mettre 2 en facteur

    f(x)=2(x2−x+12)f(x)=2(x^2-x+\frac{1}{2})f(x)=2(x2x+21)

    Tu fais apparaître un carré en remplaçant x²-x par (x-1/2)²-1/4

    f(x)=2((x−12)2−14+12)f(x)=2((x-\frac{1}{2})^2-\frac{1}{4}+\frac{1}{2})f(x)=2((x21)241+21)

    En simplifiant :

    f(x)=2((x−12)2+14)f(x)=2((x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{4})f(x)=2((x21)2+41)

    D'où :

    f(x)=2(x−12)2+24f(x)=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{2}{4}f(x)=2(x21)2+42

    f(x)=2(x−12)2+12f(x)=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}f(x)=2(x21)2+21

    Si tu arrives seule à faire la démonstration, fais la, sinon, contente toi de la vérification.


  • M

    Je te remercie, j'ai trouvé et réussie seule ta méthode et aussi la vérification. Et je dois écrire quoi pour conclure le nombre solution de l'équation? Car nous avons pas de nombre précis a la fin ?


  • mtschoon

    Tu sais graphiquement que l'équation n'a pas de solution.

    C'est ce qu'il faut retrouver mathématiquement.

    Avec l'expression de f(x), il faut que tu justifies que f(x)=0 est impossible

    f(x)=2(x−12)2+12f(x)=2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}f(x)=2(x21)2+21

    Réfléchis au signe de f(x) :

    $\text{ (x-\frac{1}{2})^2 est un carre donc (x-\frac{1}{2})^2\ge 0$

    En multipliant par 2:

    $\text{2(x-\frac{1}{2})^2\ge 0$

    12>0\frac{1}{2} \gt 021>0

    En ajoutant :

    $\text{2(x-\frac{1}{2})^2+\frac{1}{2}.......$ * ( tu complètes )*

    Tu tires la conclusion.


  • M

    Je suis desolé, mais la je n'ai vraiment pas compris 😕


  • mtschoon

    L'idée est de trouver, grâce à la forme canonique, que f(x) est strictement positif (même f(x) ≥ 1/2), donc que f(x)=0 est impossible, donc :

    l'équation 2x22x^22x2 -2x+1=0 a aucune solution.

    Réfléchis à cela.


  • M

    D'accord merci beaucoup pour ton aide.


  • mtschoon

    De rien !


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