Calculer des limites de fonctions


  • M

    Bonsoir,
    Je coince sur ceci:
    Calculer les limites suivantes:
    1)Lim(x tend vers 😎 (x^(1/3)-2)/((x+19)^(1/3)-3)
    2)lim(x tend vers 1)(√x-1)/(x^(1/3)-1)


  • mtschoon

    Bonjour,

    Une possibilité,

    Tu as des indéterminations du type '0/0'
    Tu peux faire apparaître des nombres dérivés, pour lever les indéterminations.

    $\lim_{x\to 8}\ \frac{x^{\frac{1}{3}}-2}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-3}=\lim_{x\to 8}\ \frac{x^{\frac{1}{3}}-8^{\frac{1}{3}}}{(x+19)^{\frac{1}{3}}-27^{\frac{1}{3}}$

    En divisant numérateur et dénominateur par (x-8), tu obtiens :

    lim⁡x→8 x13−813x−8(x+19)13−2713x−8\lim_{x\to 8}\ \frac { \frac{ x^{\frac{1}{3}}-8^{\frac{1}{3}}} {x-8}} {\frac{(x+19)^{\frac{1}{3}}-27^{\frac{1}{3}}}{x-8}}limx8 x8(x+19)312731x8x31831

    Tu poses

    f(x)=x13f(x)=x^{\frac{1}{3}}f(x)=x31
    g(x)=(x+19)13g(x)=(x+19)^{\frac{1}{3}}g(x)=(x+19)31

    Ainsi, la limite se ramène à !

    $\lim_{x\to 8}\ \frac { \frac{ f(x)-f(8)} {x-8}}{\frac{g(x)-g(8)}{x-8}}=\frac{f'(8)}{g'(8)$

    Après calculs, tu dois trouver 9/4

    Tu peux appliquer la même méthode pour la seconde limite et tu trouveras, sauf erreur, 3/2.


  • M

    Pourquoi vous avez divisé par x-8?


  • mtschoon

    Pour faire apparaître les nombres-dérivés.

    Rappel :

    lim⁡x→af(x)−f(a)x−a=f′(a)\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=f'(a)limxaxaf(x)f(a)=f(a)


  • M

    D'accord j'ai compris.Mais j'arrive pas a trouver 9/4
    En faisant f'8/g'8 j'obtiens:8∧(-2/3)/27∧(-2/3)=16/81


  • mtschoon

    Recompte.

    8∧(-2/3)/27∧(-2/3)=9/4


  • M

    J'ai finalement trouvé 9/4.
    Merci pour votre aide!!


  • mtschoon

    De rien et bon courage pour la seconde limite.


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