Échantillonnage 1

Bonsoir,

Encore une fois, si quelqu'un peut corriger mes réponses s'il vous plait.

Voici l'énoncé:
Soit X v.a suivant une loi normale N(32 ; 1) (Ils n'ont pas indiqué si c'est la variance ou l'écart-type, en tout les cas moi j'ai considéré le 1 comme étant écart-type)
Soit la taille de l'échantillon n=20, on calcule la moyenne pour cette échantillon.

1)Quelle est la loi de la moyenne $xˉ20\bar{x}{20}$ ?
2)Dans quel intervalle symétrique autour de la valeur ésperée la moyenne $xˉ20\bar{x}{20}$ est égale à 0,99 ?
3)Quelle est la loi de $s^{2}$ ? Donner son espérance et sa variance.

voici ce que j'ai fait:

$x∼n(32;1)doncxˉ20∼n(m=32;σn=120)x\sim n(32 ; 1) donc \bar{x}_{20}\sim n(m=32 ; \frac{\sigma }{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{20}})$

ainsi $z∼n(0;1)avecz=(xˉ20−32)201z\sim n(0;1) avec z=\frac{(\bar{x}_{20}-32)\sqrt{20}}{1}$

2)on cherche $p(−a≤xˉ20≤a)=0,99↔p((−a−32)20≤z≤(a−32)20)=2φ((a−32)20)−1p(-a\leq \bar{x}_{20}\leq a)= 0,99 \leftrightarrow p((-a-32)\sqrt{20}\leq z\leq(a-32)\sqrt{20} )= 2\varphi ((a-32)\sqrt{20})- 1$

$↔φ(a−32)20=0,99+120=0,995\leftrightarrow \varphi (a-32)\sqrt{20} = \frac{0,99+1}{\sqrt{20}}=0,995$

selon la table de la loi normale centrée réduite on trouve que 0,995=℘(2,585)

$(a−32)20=2,585↔a≈32,58↔⊑−32,58;32,58⊒,(a-32)\sqrt{20}=2,585 \leftrightarrow a\approx 32,58 \leftrightarrow \sqsubseteq -32,58 ; 32,58\sqsupseteq ,$

Je ne suis pas sure de celle là.

$(20−1)s22012→19s220∼x(20−1=19)2\frac{(20-1)s^{2}{20}}{1^{2}}\rightarrow 19s^{2}{20}\sim x^{2}_{(20-1=19)}$

$e(s220)=v(s220)=1;σ(s220)=v(s220)=1e(s^{2}{20})= v(s^{2}{20})=1 ; \sigma (s^{2}{20})=\sqrt{v(s^{2}{20})}=1$

Merci.

Bonjour,

Je regarde un peu.

OK pour la 1)

Tu as écris N(31,1) mais je suppose que c'est une faute de frappe et que tu voulais écrire N(32,1)

Ta réponse à la 2), me laisse perplexe.

En écrivant $p(−a≤xˉ20≤a)=0,99p(-a\leq \bar{x}{20}\leq a)= 0,99$ , tu as centré $xˉ20\bar{x}{20}$ sur 0

Or, $xˉ20\bar{x}_{20}$ suit la loi$n(32,\frac{1}{\sqrt{20})$

Pour la 3), c'est la variance qui me semble bizarre.

Tu utilises la loi du Khi_2, je suppose

$v(x192)=2×19=38e(x^2_{19})=19 \ et\ v(x^2_{19})=2\times 19=38$

Pour l'espérance cherchée, on obtient bien 1, mais pas pour la variance.

Vérifie.

oui faute de frappe.

Pour 2) J'ai effectuer un changement de variable, en passant de
$xˉ∼n(32;1)\bar{x}\sim n(32;1)$ à $z∼n(0;1)z\sim n(0;1)$
avec $z=(xˉ20−32)201z=\frac{(\bar{x}_{20}-32)\sqrt{20}}{1}$

3)Je n'ai pas bien compris ce que vous aviez écrit, est ce que vous pouvez clarifier ?

Pour la 2), tu dois bien remarquer que l'intervalle que tu trouves pour $x‾20\overline x _{20}$ n'est pas centré sur 32.

Je suis tout à fait d'accord sur ton changement de variable, mais c'est Z que doit être centré sur 0 , alors que tu as centré $x‾20\overline x _{20}$ sur 0 en écrivant :
$−a≤x‾20≤a‾-a\le \overline x _{20} \le \overline a$

A ta place, j'aurais centré $x‾20\overline x _{20}$ sur 32 en partant de :

$32−a≤x‾20≤32+a32-a\le \overline x _{20} \le 32+a$

Sauf erreur , tu déduis que $−a20≤z≤a20-a\sqrt{20}\le z \le a\sqrt{20}$ et Z est bien centré sur 0

Ensuite, tu fais les calculs, et tu trouver forcément un intervalle de centre 32, ce qui est logique.

A toi de décider, bien sûr.

Pour la 3), j'ignore ce que te dit ton cours...alors, ce n'est pas facile...

En principe, $x192x^2_{19}$ suit la loi du Khi_2

(Tu peux chercher des documents sur Internet relatifs à cette loi )

Pour ce type de loi, l'espérance vaut 19 et la variance 2x19

Donc,

$\text{e(19s^2_{20})=19 et v(19s^2_{20})=2\times 19$

Donc :

$\text{e(s^2_{20})=\frac{19}{19}=1 et v(s^2_{20})=\frac{2\times 19 }{19^2}=\frac{2}{19}$

Je ne comprends pas comment tu as trouvé $\text{v(s^2_{20})=1$

Mais, si ton cours explique différemment que ce que je te suggère, , utilise ton cours , bien sûr.

Ah ouiiiii ! Votre explication donne un sens... Je vais partir avec votre réponse !
Le problème c'est que moi j'ai déduis la variance et l’espérance sans prendre en considération quelle loi $xˉ219\bar{x}^{2}{19}$ suit. Je veux dire, j'ai calculé la variance et l’espérance de $s^{2}{20}$
en tant que variance échantillon... Du coup j'avais tord.

Merciiii !

Bons calculs!

Si tu utilises ma suggestion du 2), je t'indique les résultats ainsi trouvés (sauf erreur de ma part)

a≈0.576

donc :

$31.424<x‾20<32.57631.424\lt \overline{x}_{20} \lt 32.576$

Vérifie, bien sûr.

Ouiii, c'est ce que j'ai trouvé moi aussi

a≈0,5780 d'ou $31,4219≤xˉ(20)≤32,578031,4219\leq \bar{x}_(20)\leq 32,5780$

Merciiiii encore comme d'habitude !

Tu as bien travaillé !

De rien, pour l'aide.

Yay quel compliment je viens de lire ! Merciiii ça me rend heureuse...

Juste une petite question, je me suis demandé concernant 3)

est ce que c'est correcte d'écrire $19s220∼x2(19)19s^{2}{20}\sim x^{2}{(19)}$ ?

Je ne dois pas trouver la loi de $s202s^{2}_{20}$ sans le 19 accoté comme la question l'indique?

Tu rédige à ta façon, mais le "19" est obligatoire.

Il faut connaître la loi de $19s_{20}^2$ pour en déduire la loi de $s_{20}^2$

Et donc $s202∼l(1;219)s^{2}_{20}\sim l(1;\frac{2}{19})$ ? Est ce que ça reste une loi du Khi_2 ??

Pourn "assez grand" (en principe, cela s'applique pour n > 30), la loi de $s_n^2$ est "approximativement" normale.

Regarde ton cours, je ne peux pas t'en dire plus .

Oups.... Ah merciiii.