Equation avec une exponentielle
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Aarone dernière édition par
Bonsoir
F(x)=−xe1−x-xe^{1-x}−xe1−x
Démontrer que sur [1+inf[, l'équation F(x)=12\frac{1}{2}21 est équivalente à l'équation ln(2x)+1=x
−xe1−x+12=0-xe^{1-x}+\frac{1}{2}=0−xe1−x+21=0
−2xe1−x2+12\frac{-2xe^{1-x}}{2}+\frac{1}{2}2−2xe1−x+21=0
−xe1−x+1=0-xe^{1-x}+1=0−xe1−x+1=0
xe1−x=1xe^{1-x}=1xe1−x=1
lnxe1−x=ln1lnxe^{1-x}=ln1lnxe1−x=ln1Mais comment retrouver 2x???
Merci
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mtschoon dernière édition par
Bonsoir,
Il y a une faute dans l'énoncé que tu écris (et tes calculs sont bizarres)
Si $\text{f(x)=-xe^{1-x}$,
sur [1,+∞[, F(x) < 0 donc
$\text{ f(x)=\frac{1}{2} est impossible$
En modifiant l'énoncé:
Pour $\fbox{f(x)=xe^{1-x}}$
f(x)=12<=>xe1−x=12<=>e1−x=12xf(x)=\frac{1}{2} \lt = \gt xe^{1-x}=\frac{1}{2} \lt = \gt e^{1-x}=\frac{1}{2x}f(x)=21<=>xe1−x=21<=>e1−x=2x1
En prenant le logarithme de chaque membre (possible pour x ∈ [1,+∞[)
1−x=ln(12x)<=>1−x=ln(1)−ln(2x)<=>1−x=−ln(2x)1-x=ln(\frac{1}{2x}) \lt = \gt 1-x=ln(1)-ln(2x) \lt = \gt 1-x=-ln(2x)1−x=ln(2x1)<=>1−x=ln(1)−ln(2x)<=>1−x=−ln(2x)
En transposant, tu obtiens :
ln(2x)+1=x\fbox{ln(2x)+1=x}ln(2x)+1=x
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Aarone dernière édition par
Merci pour l'explication!
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mtschoon dernière édition par
De rien !
J'espère que la modification que je t'ai proposée sur la fonction était la bonne.