Équivalence de congruences en utilisant Fermat

Bonjour !

J'ai : $x^x$ ≡ $a^b$ (mod 7) et je dois montrer que c'est équivalent au système{ x ≡ a (mod 7) et x ≡ b (mod 6)}.

Evidemment avec Fermat j'ai $a^6$ ≡ 1 (mod 7) donc la réciproque est évidente.

Mais l'implication ne me parait pas évidente : $x^x$ ≡ $a^b$ (mod 7) ⇒ { x ≡ a (mod 7) et x ≡ b (mod 6)}.

Quelqu'un pourrait-il m'éclairer s'il vous plait

Merci par avance.

BONJOUR ! (ça se dit ...)
Revois ton énoncé, car par exemple , pour :
x = 4, a = 2, et b = 2,
on a $4^4$ ≡ $2^2$ modulo 7
Et pourtant, 4 n'est pas congru à 2 modulo 7, ni modulo 6.

En fait l'énoncé est : "Quels sont les entiers naturels x tels que l'entier $x^x$ -3 est divisible par 7 ?"

L'auteur propose, pour résoudre $x^x$ ≡ 3 (mod 7), de chercher les couples (a,b) ∈ Z/7Z×Z/6Z tels que $a^b$ ≡ 3 (mod 7) en arguant que, si x n'est pas multiple de 7, alors l'égalité " $x^x$ ≡ $a^b$ (mod7)" équivaut à "{x ≡ a (mod 7) et x ≡ b (mod 6)}"...

PS : j'ai modifié mon poste précédent en rajoutant le bonjour, toutes mes excuses

Oui, mais l'auteur propose une équivalence fausse, comme le montre le contre-exemple donné ci-dessus.
Sauf erreur de ma part (à vérifier), l'équation $x^x$ ≡ 3 (mod 7) n'admet qu'une solution (dans Z/7Z) : x ≡ 5 modulo 7(ou x = 5 dans Z/7Z).
On a (sauf erreur) : $5^5$ ≡ 3 modulo 7
Qu'on peut écrire $5^5$ ≡ $3^1$ modulo 7
Et là encore, 5 (x) n'est pas congru à 3 (a) modulo 7, ni à 1 (b) modulo 6.

Effectivement 5 est solution de l'équation mais aussi du système avec a ≡ -2 [7] et b ≡ 5 [6].

Une autre solution est x = 31 avec a ≡ 3 [7] et b ≡ 1 [6].

Les deux solutions l'étant à un multiple de 42 près.

C'est exact : on trouve deux solutions modulo 42 : 5 et 31.
Une simple remarque : a ≡ -2 [7] ⇔a ≡ 5 [7].
Mais le problème demeure de savoir s'il y a d'autres solutions que ces deux-là, puisque l'équivalence proposée est fausse.
En fait, il me semble que l'énoncé n'est pas clairement posé. L'équivalence donnée me paraît "partiellement" vraie selon les cas.
Je précise mon raisonnement :
Pour commencer, je travaille dans Z/7Z, notant (1), (2), ...,(6) les classes résiduelles modulo 7, c'est-à-dire les éléments de Z/7Z ((0) est exclu de l'énoncé).
Or, aucune puissance de (1), (2), (4), (6) ne donne (3).
Les deux seules possibilités sont :
$3)^1$ = (3) et $5)^5$ = (3) (tu noteras que les exposants ne sont pas entre parenthèses : ce sont des entiers usuels).
L'équation $x^x$ ≡ 3 modulo 7 équivaut donc à $x)^x$ = (3).
Compte tenu de ce qui précède, ou bien (x) = (3), ou bien (x) = (5).
Premier cas : si (x) = (3), on cherche x tel que $x)^x$ = $3)^1$
Ici, on a une équivalence : tout élément de Z/42Z est en bijection avec un couple (a,b) de Z/7Z×Z/6Z (théorème chinois).
Donc $x)^x$ = $3)^1$ implique (tu as déjà vu que les réciroques sont évidentes) x ≡ 3 modulo 7 (i.e. (x) = (3)) et pour les exposants : x ≡ 1 modulo 6.
Il n'y a plus qu'à résoudre le système qui fournit x ≡ 31 modulo 42.
Second cas : c'est encore plus simple puisqu' ici 5 est à la fois le nombre et l'exposant : on trouve évidemment x ≡ 5 modulo 42.