Trigonométrie, simplifications et cosinus

Bonjour,

J'ai un DM à faire de trigonométrie, mais je suis bloquée aux deux dernières questions :

5)En déduire des questions précédentes les valeurs exactes du cosinus et du sinus de 7 $p i$ /24

--> la question précédente nous amenait à

cos(7 $p i$ /24) = ((1+ $s q r t$ 2))/2)( $s q r t$ (2/(4+ $s q r t$ 2+ $s q r t$ 6)))
et sin(7 $p i$ /24) = (( $s q r t$ 3)+ $s q r t$ 2))/2)( $s q r t$ (2/(4+ $s q r t$ 2+ $s q r t$ 6)))

Mais il faudrait que je trouve au final

cos(7 $p i$ /24) = (1/2) $s q r t$ (2- $s q r t$ (2- $s q r t$ 3)))
sin(7 $p i$ /24) = (1/2) $s q r t$ (2+ $s q r t$ (2- $s q r t$ 3)))

J'ai essayé de simplifier et je suis parvenue à

cos(7 $p i$ /24) = (1/2) ((2+ $s q r t$ 2))/( $s q r t$ (4+ $s q r t$ 2+ $s q r t$ 6))
mais je n'arrive plus à simplifier !
sin(7 $p i$ /24) = (1/2) ((2+ $s q r t$ 6))/( $s q r t$ (4+ $s q r t$ 2+ $s q r t$ 6))
idem...

en déduire les cosinus des angles $p i$ /24, 5 $p i$ /24, 11 $p i$ /24, 13 $p i$ /24, 17 $p i$ /24, 19 $p i$ /24, 23 $p i$ /24

J'arrive à les calculer en utilisant les transformations élémentaires (formules trigonométriques en $p i$ +t, $p i$ -t, $p i$ /2+t, $p i$ /2-t...) sauf pour $p i$ /24 et 11 $p i$ /24.

Pouvez-vous m'aider s'il-vous-plaît ?
En vous remerciant par avance,

Lacerisedu57.

Bonjour,

Es-tu vraiment sûr(e) des réponses à tes "questions précédentes" ?

Vérifie (avec des valeurs approchées) à la calculette.

cos(7∏/24)≈0.6087

Quelque chose semble ne pas convenir dans tes "questions précédentes"

Oui oui, j'ai bien vérifié et c'est égal !

(1/2)((2+sqrt(2))/(sqrt(4+sqrt(2)+sqrt(6))=1/2((2+√2)/√(4+√2+√6) )≈0,608761429
sur mes calculatrices...

Mais, il est vrai qu'avec le nombre de racines et de parenthèses, on s'embrouille un peu !

Effectivement, tes écritures sont vraiment difficiles à déchiffrer ( vive le Latex!) . J'ai dû mal déchiffrer.

Je n'ai pas regardé de près, mais peut-être une idée pour t'aider à transformer.

Utilise le fait que :

$(62−22)2=2−3(\frac{\sqrt 6}{2}-\frac{\sqrt 2}{2})^2=2-\sqrt 3$

Donc :

$(62−22)=2−3(\frac{\sqrt 6}{2}-\frac{\sqrt 2}{2})=\sqrt{2-\sqrt 3}$

Effectivement, ça aide, merci !

Je passe les détails de mes calculs mais j'aboutis à 1/2(√((4-√6+√2)/2)
C'est toujours égal.
De même, pour le sinus, j'ai 1/2(√((4+√6-√2)/2)

Je pense qu'il ne reste qu'une ou deux étapes pour relier les résultats finaux et mes développements, non ? Mais j'ai de nouveau du mal à voir comment...

Désolée, mais tes écritures ne sont pas assez précises.

Je crois voir (?) 3 parenthèses ouvertes et seulement 2 parenthèses fermées...

Merci d'écrire plus clairement.

Autant pour moi !

Alors:

cos(7 $p i$ /24)= 1/2(√((4-√6+√2)/2))
et
sin(7 $p i$ /24)= 1/2(√((4+√6-√2)/2))

Je regarde le cosinus ( mais même idée pour le sinus)

Utilise la transformation que je t'ai donné précédemment.

$124−6+22=122−6−22=122−2−3\frac{1}{2}\sqrt{\frac{4-\sqrt 6+\sqrt 2}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\frac{\sqrt 6-\sqrt 2}{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{2-\sqrt 3}}$

Oui, c'est exactement la façon dont j'ai procédé (en inversé) mais je n'ai pas détaillé dans mon message.

Mais, en partant de mon tout premier calcul (question 4, la précedente donc),

cos(7pi/24) = ((1+racine2))/2)(racine(2/(4+racine2+racine6))),

j'étais arrivée à

cos(7pi/24) = (1/2) ((2+racine2))/(racine(4+racine2+racine6))

Il faudrait alors que je relie ce calcul à

cos(7pi/24)= 1/2(√((4-√6+√2)/2)),

que j'ai trouvé tout à l'heure grâce à vous. Et c'est là que ça bloque...

Piste ( pour le cosinus) pour faire le "lien" (comme tu dis)

En bref, tu veux prouver que :

$2+24+2+6=4−6+22\frac{2+\sqrt 2}{\sqrt{4+\sqrt 2+\sqrt 6}}=\sqrt{\frac{4-\sqrt 6+\sqrt 2}{2}}$

Par élévation au carré, il faut démontrer que :

$(2+2)24+2+6=4−6+22\frac{(2+\sqrt 2)^2}{4+\sqrt 2+\sqrt 6}=\frac{4-\sqrt 6+\sqrt 2}{2}$

DEMO possible :

$4−6+22=(4−6+2)(4+6+2)2(4+6+2)\frac{4-\sqrt 6+\sqrt 2}{2}=\frac{(4-\sqrt 6+\sqrt 2)(4+\sqrt 6+\sqrt 2)}{2(4+\sqrt6+\sqrt 2)}$

Après développement (et simplification) du numérateur, tu dois trouver :

$\frac{4-\sqrt 6+\sqrt 2}{2}=\frac{12+8\sqrt 2}{{2(4+\sqrt6+\sqrt 2)}$

En simplifiant par 2 :

$\frac{4-\sqrt 6+\sqrt 2}{2}=\frac{6+4\sqrt 2}{{4+\sqrt6+\sqrt 2}$

J'espère que maintenant, en mettant tout dans l'ordre, tu pourras faire la démonstration souhaitée pour le cosinus (ainsi que pour le sinus).

Je te réponds à tes dernières questions.

Des décompositions possibles :

$π24=7π24−6π24=7π24−π4\frac{\pi}{24}=\frac{7\pi}{24}-\frac{6\pi}{24}=\frac{7\pi}{24}-\frac{\pi}{4}$

Evidemment, tu utilises ensuite cos(a-b) et sin(a-b)

$11π24=5π24+6π24=5π24+π4\frac{11\pi}{24}=\frac{5\pi}{24}+\frac{6\pi}{24}=\frac{5\pi}{24}+\frac{\pi}{4}$

Evidemment, tu utilises ensuite cos(a+b) et sin(a+b)

Bon travail!

Je viens de voir votre dernier message, jusqu'à maintenant j'ai tout remis dans l'ordre et détaillé chaque étape pour le sinus et le cosinus de la question 5).

Bon, je n'ai plus qu'à faire tous ceux de la 6) avec votre méthode !

Merci pour tout et bonne journée !

Pour la 6), j'ai répondu à ta question:
Citation
J'arrive à les calculer en utilisant les transformations élémentaires (formules en pi+t, pi-t, pi/2+t, pi/2-t...) sauf pour pi/24 et 11pi/24.

Pour ∏/24, je suppose que tu as compris la décomposition proposée.

Tu connais sin( 7∏/24) et cos( 7∏/24) vu que tu viens de les calculer.

Tu connais cos( ∏/4) et sin( ∏/4) : angles usuels

Je te rappelle :

$cos⁡π4=sin⁡π4=22\cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt 2}{2}$

Ensuite, en appliquant cos(a-b) et sin(a-b) , tu as les réponses souhaitées.

Même idée pour 11∏/24

Bonne fin de DM.