équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y)


  • B

    Bonjour, j'aimerais réussir à faire cet exercice ci contre :

    Soit f une fonction continue en 0 vérifiant, pour tout (x,y) de R², f(x+y)=f(x)f(y).

    1. Quelles sont les valeurs possibles de f(0) ?
    2. On suppose que f(0)=0. Calculer f(x) pour tout x de R.
    3. On suppose maintenant que f(0) est différent de 0 et on pose a=f(1).
      a) Montrer que f est continue sur R
      b) On veut montrer que a>0. Pour cela, on suppose que a≤0. Montrer qu'il existe c∈]0;1] tel que f(c)=0 et en déduire f(0)
      c) Montrer que pour tout n de N, f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
      d) Soit x un rationnel, donc x=p/q avec p∈N et q∈Z*. Montrer que f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax
      e) Soit x∈R. On admet qu'il existe une uite (xn(x_n(xn) de nombres rationnels telqs que limxnlimx_nlimxn=x.

    J'ai fait :

    1. f(0)=f(0)f(0)=0 si y=x=0

    je bloque ensuite je trouve cet exercice difficile merci de m'y aider...


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je n'ai absolument pas pris le temps de consulter l'exercice que tu viens d'écrire (qui semble être un "bel exercice"), j'ai regardé seulement ta réponse à la 1.

    Revois la...

    Bien que ce ne soit pas le même, tu peux peut-être consulter la discussion faite ici :

    http://www.mathforu.com/sujet-21367.html
    cela peut te donner des idées pour faire le tien.


  • B

    1. x=y=x alors f(0)=f(0)f(0)=f(0)²=0

  • mtschoon

    non car la conclusion est toujours inexacte...

    tu dois bien savoir résoudre une équation du type x=x²


  • B

    oui x-x²=0 donc x(1-x)=0 x=0 ou x=1

    donc ici :
    f(0)-f(0)²=0
    f(0)(1-f(0))=0
    f(0)=0 ou f(0)=1


  • mtschoon

    oui .

    Cela explique la structure de l'exercice.
    A la 2) f(0)=0 et à la 3) f(0)≠0

    Piste pour la 2) : Pense que x=x+0


  • B

    1. ok
    2. x=x+0 donc f(0)=0 ssi f(x+0)=f(x)f(0)=0 donc f(x)=f(x)f(0) ?

  • mtschoon

    Pour le 2, tu ne peux pas écrire donc f(0=0 ssi...

    Fais une démarche rigoureuse.

    f(0)=0 est l'hypothèse.

    Alors, pour tout x réel , as-tu trouvé f(x) ?


  • B

    non j'ai pas réussi à trouver.

    on peut écrire que si f(0)=0 alors f(x)f(y)=0 donc f(x)=0


  • mtschoon

    C'est mal organisé mais tu as trouvé pour la 2)

    On suppose que f(0)=0

    Pour tout x réel:

    $\text{f(x)=f(x+0)=f(x)\times f(0) donc f(x)=f(x)\times 0=0$

    Conclusion :

    dans ce cas, f est la fonction identiquement nulle !

    $\text {\forall x\in r f(x)=0$

    Passe à la 3), maintenant.


  • B

    1.ok
    2. d'accord merci
    3. a=f(1)
    a) pour montrer que f est continue, il faut que j'utilise le théorème des valeurs intermédiaires. Démontrer que f est croissante ou décroissante, strictement positive ou négative...

    f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)=a
    f(2)=f(1+1))=f(1)f(1)=2f(1)=2a

    Donc f est croissante, elle est continue d'après le tvi ?


  • mtschoon

    Oh !

    Regarde ton cours de prés, et prends le temps de la réflexion !

    Pour pouvoir appliquer le TVI, il faut avoir démontré que la fonction est continue, pas l'inverse !


  • B

    oui c'est exact sauf que je n'ai pas encore le cours sur cela (à part celui de terminale) dpnc :

    Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que a<b . Alors, en supposant que f(a)<f(b) , pour tout y tel que f(a)

    le fait d'avoir calculé f(1) et f(2) peut il aboutir à la conclusion?


  • mtschoon

    Le cours de Terminale suffit.

    Mais, tu n'as, je crois, pas compris la démarche.
    Tu commences par écrire :
    Citation
    Soit f continue sur I
    Tu ne peux pas dire cela. ilFAUT DEMONTRER que f est continue sur R

    (c'est une conclusion à trouver, non une hypothèse)

    Comme je te l'ai déjà dit, prends un peu de temps et réfléchis.


  • B

    en fait j'écrivais juste la démonstration du cours

    donc Soient 1 et 2 deux éléments de R tels que 1<2. Alors en supposant que f(1)<f(2) soit a<2a, f est continue sur R


  • mtschoon

    Tu as dû sortir cette phrase de son contexte, car elle n'a aucun sens ici...

    Essaie de démontrer par exemple que, h étant un réel , pour tout x de R

    lim⁡h→0f(x+h)=f(x)\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)limh0f(x+h)=f(x)

    Tu auras ainsi démontré que f est continue pour tout x réel, c'est à dire f continue sur R.


  • B

    f(x+y)=f(x)f(y)
    alors f(x+h)=f(x)f(h)
    quand h tend vers 0, f(x+h)=f(x)=f(x)f(0)=f(x)
    j'ai vraiment du mal à raisonner sur cette question...


  • mtschoon

    Je détaille (mais, en continuant ainsi, je vais finir par te faire tout l'exercice, ce qui n'est pas le but...)

    f(x+h)=f(x)×f(h)f(x+h)=f(x)\times f(h)f(x+h)=f(x)×f(h)

    Vu que f est continue en 0 (c'est l'hypothèse donnée en première ligne de l'énoncé)

    lim⁡h→0f(h)=f(0)=1\lim_{h\to 0}f(h)=f(0)=1limh0f(h)=f(0)=1

    donc , pour tout x réel :

    lim⁡h→0f(x+h)=lim⁡h→0f(x)×f(h)=f(x)×lim⁡h→0f(h)=f(x)×1=f(x)\lim_{h\to 0}f(x+h)=\lim_{h\to 0} f(x)\times f(h)=f(x)\times \lim_{h\to 0}f(h)=f(x)\times 1=f(x)limh0f(x+h)=limh0f(x)×f(h)=f(x)×limh0f(h)=f(x)×1=f(x)

    CQFD


  • B

    merci beaucoup je vais essayer de refaire cette question.

    c) Je pense qu'il faut faire une récurrence.
    Soit Pn la propriété qui pour tout nde N, "f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an"
    Initialisation : pour n=1, f(1)=a et a1a^1a1=1 donc ¨P1 est vraie.
    Hérédite: Soit un n tel que Pn est vraie alors :
    f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
    <strong>f(n)a<strong>f(n)a<strong>f(n)a^n=an+1=a^{n+1}=an+1
    f(n)f(y)=f(n+y) avec ici y=any=a^ny=an
    donc Pn+1 est vraie

    je pense qu'il y a une erreur dans les lignes en gras...pourtant il faut utiliser le fait que f(x+y)=f(x)f(y)


  • mtschoon

    Pour le c) , oui tu dois faire une récurrence

    Dans l'hérédité, remplace y par la valeur utile, et écrit avec rigueur ce ce tu veux calculer, car ce que tu as écrit ne démontre rien. ( il n' a que l'emballage )


  • B

    f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
    f(n+1)=f(n)f(1)=af(n+1)=f(n)f(1)=af(n+1)=f(n)f(1)=a^na=an+1a=a^{n+1}a=an+1


  • mtschoon

    oui!


  • B

    ok je réécrirai correctement la récurrence sur papier.

    d) Soit x un rationnel, donc x=p/q avec p∈N et q∈Z*. Montrer que f(x)=ax

    On sait juste que f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
    et f(p/q)=ap/qf(p/q)=a^{p/q}f(p/q)=ap/q

    j'avoue ne pas trop comprendre le sens de la question


  • mtschoon

    Tu as démontré que f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an pour n naturel.

    Mais, on ne sait pas que f(p/q)=ap/qf(p/q)=a^{p/q}f(p/q)=ap/q :c'est ce qu'il faut que tu démontres.


  • B

    On sait que x=p/q et que f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an

    p=xq et q=p/x c'est tout ce que je peux écrire


  • mtschoon

    Je te propose une démonstration possible, avec p ∈ N et q ∈ N*

    (Il te restera à voir le cas où q est entier strictement négatif)

    Pour Tout X réel et tout Y réel,f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)

    donc, pour Y=X :f(2x)=[f(x)]2f(2x)=[f(x)]^2f(2x)=[f(x)]2

    En généralisant à q : f(qx)=[f(x)]qf(qx)=[f(x)]^qf(qx)=[f(x)]q ( petite récurrence, pour ça)

    Tu peux déduire :

    f(x)=[f(qx)]1qf(x)=[f(qx)]^{\frac{1}{q}}f(x)=[f(qx)]q1

    En prenantx=pqx=\frac{p}{q}x=qp , tu obtiens :

    f(pq)=[f(p)]1qf(\frac{p}{q})=[f(p)]^{\frac{1}{q}}f(qp)=[f(p)]q1

    Vu que p est naturel, tu peux uriliser la propriété précedemment démontrée, d'où

    f(pq)=[ap]1qf(\frac{p}{q})=[a^p]^{\frac{1}{q}}f(qp)=[ap]q1

    donc :

    $\fbox{f(\frac{p}{q})=a^{\frac{p}{q}}$

    CQFD

    Lorque tu auras vu ça de près , essaie de voir comment passer à la même formule avec q entier strictement négatif.


  • B

    q appartient aux entiers naturels donc dans l'exercice je n'ai pas besoin de faire le cas où il est négatif. Je vais cependant réfléchir à comment pouvoir le faire

    e) On admet qu'il existe une suite (xn(x_n(xn) tel que xnx_nxn tend vers x et f(h) tend vers f(x) quand h tend vers x alors f(xnf(x_nf(xn) tend vers f(x) donc f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax


  • mtschoon

    non...

    Regarde l'énoncé que tu as écrit: q ∈ Z*

    Z est l'ensemble des entiers strictement positifs, nul, strictement négatifs

    Z*est l'ensemble des entiers strictement positifs ou strictement négatifs

    Il faut donc bien faire le cas où q est entier strictement négatif.

    C'est normal, vu que la propriété doit être vraie pour tout x rationnel, avant d'être étendue à tout x réel.


  • B

    Merci je vais chercher mais j'ai déjà un bon bout !


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