équation fonctionnelle f(x+y)=f(x)f(y)
-
Bbrom2 dernière édition par
Bonjour, j'aimerais réussir à faire cet exercice ci contre :
Soit f une fonction continue en 0 vérifiant, pour tout (x,y) de R², f(x+y)=f(x)f(y).
- Quelles sont les valeurs possibles de f(0) ?
- On suppose que f(0)=0. Calculer f(x) pour tout x de R.
- On suppose maintenant que f(0) est différent de 0 et on pose a=f(1).
a) Montrer que f est continue sur R
b) On veut montrer que a>0. Pour cela, on suppose que a≤0. Montrer qu'il existe c∈]0;1] tel que f(c)=0 et en déduire f(0)
c) Montrer que pour tout n de N, f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
d) Soit x un rationnel, donc x=p/q avec p∈N et q∈Z*. Montrer que f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax
e) Soit x∈R. On admet qu'il existe une uite (xn(x_n(xn) de nombres rationnels telqs que limxnlimx_nlimxn=x.
J'ai fait :
- f(0)=f(0)f(0)=0 si y=x=0
je bloque ensuite je trouve cet exercice difficile merci de m'y aider...
-
Bonjour,
Je n'ai absolument pas pris le temps de consulter l'exercice que tu viens d'écrire (qui semble être un "bel exercice"), j'ai regardé seulement ta réponse à la 1.
Revois la...
Bien que ce ne soit pas le même, tu peux peut-être consulter la discussion faite ici :
http://www.mathforu.com/sujet-21367.html
cela peut te donner des idées pour faire le tien.
-
Bbrom2 dernière édition par
- x=y=x alors f(0)=f(0)f(0)=f(0)²=0
-
non car la conclusion est toujours inexacte...
tu dois bien savoir résoudre une équation du type x=x²
-
Bbrom2 dernière édition par
oui x-x²=0 donc x(1-x)=0 x=0 ou x=1
donc ici :
f(0)-f(0)²=0
f(0)(1-f(0))=0
f(0)=0 ou f(0)=1
-
oui .
Cela explique la structure de l'exercice.
A la 2) f(0)=0 et à la 3) f(0)≠0Piste pour la 2) : Pense que x=x+0
-
Bbrom2 dernière édition par
- ok
- x=x+0 donc f(0)=0 ssi f(x+0)=f(x)f(0)=0 donc f(x)=f(x)f(0) ?
-
Pour le 2, tu ne peux pas écrire donc f(0=0 ssi...
Fais une démarche rigoureuse.
f(0)=0 est l'hypothèse.
Alors, pour tout x réel , as-tu trouvé f(x) ?
-
Bbrom2 dernière édition par
non j'ai pas réussi à trouver.
on peut écrire que si f(0)=0 alors f(x)f(y)=0 donc f(x)=0
-
C'est mal organisé mais tu as trouvé pour la 2)
On suppose que f(0)=0
Pour tout x réel:
$\text{f(x)=f(x+0)=f(x)\times f(0) donc f(x)=f(x)\times 0=0$
Conclusion :
dans ce cas, f est la fonction identiquement nulle !
$\text {\forall x\in r f(x)=0$
Passe à la 3), maintenant.
-
Bbrom2 dernière édition par
1.ok
2. d'accord merci
3. a=f(1)
a) pour montrer que f est continue, il faut que j'utilise le théorème des valeurs intermédiaires. Démontrer que f est croissante ou décroissante, strictement positive ou négative...f(1)=f(1+0)=f(1)f(0)=a
f(2)=f(1+1))=f(1)f(1)=2f(1)=2aDonc f est croissante, elle est continue d'après le tvi ?
-
Oh !
Regarde ton cours de prés, et prends le temps de la réflexion !
Pour pouvoir appliquer le TVI, il faut avoir démontré que la fonction est continue, pas l'inverse !
-
Bbrom2 dernière édition par
oui c'est exact sauf que je n'ai pas encore le cours sur cela (à part celui de terminale) dpnc :
Soit f continue sur I. Soient a et b deux éléments de I tels que a<b . Alors, en supposant que f(a)<f(b) , pour tout y tel que f(a)
le fait d'avoir calculé f(1) et f(2) peut il aboutir à la conclusion?
-
Le cours de Terminale suffit.
Mais, tu n'as, je crois, pas compris la démarche.
Tu commences par écrire :
Citation
Soit f continue sur I
Tu ne peux pas dire cela. ilFAUT DEMONTRER que f est continue sur R(c'est une conclusion à trouver, non une hypothèse)
Comme je te l'ai déjà dit, prends un peu de temps et réfléchis.
-
Bbrom2 dernière édition par
en fait j'écrivais juste la démonstration du cours
donc Soient 1 et 2 deux éléments de R tels que 1<2. Alors en supposant que f(1)<f(2) soit a<2a, f est continue sur R
-
Tu as dû sortir cette phrase de son contexte, car elle n'a aucun sens ici...
Essaie de démontrer par exemple que, h étant un réel , pour tout x de R
limh→0f(x+h)=f(x)\lim_{h\to 0}f(x+h)=f(x)limh→0f(x+h)=f(x)
Tu auras ainsi démontré que f est continue pour tout x réel, c'est à dire f continue sur R.
-
Bbrom2 dernière édition par
f(x+y)=f(x)f(y)
alors f(x+h)=f(x)f(h)
quand h tend vers 0, f(x+h)=f(x)=f(x)f(0)=f(x)
j'ai vraiment du mal à raisonner sur cette question...
-
Je détaille (mais, en continuant ainsi, je vais finir par te faire tout l'exercice, ce qui n'est pas le but...)
f(x+h)=f(x)×f(h)f(x+h)=f(x)\times f(h)f(x+h)=f(x)×f(h)
Vu que f est continue en 0 (c'est l'hypothèse donnée en première ligne de l'énoncé)
limh→0f(h)=f(0)=1\lim_{h\to 0}f(h)=f(0)=1limh→0f(h)=f(0)=1
donc , pour tout x réel :
limh→0f(x+h)=limh→0f(x)×f(h)=f(x)×limh→0f(h)=f(x)×1=f(x)\lim_{h\to 0}f(x+h)=\lim_{h\to 0} f(x)\times f(h)=f(x)\times \lim_{h\to 0}f(h)=f(x)\times 1=f(x)limh→0f(x+h)=limh→0f(x)×f(h)=f(x)×limh→0f(h)=f(x)×1=f(x)
CQFD
-
Bbrom2 dernière édition par
merci beaucoup je vais essayer de refaire cette question.
c) Je pense qu'il faut faire une récurrence.
Soit Pn la propriété qui pour tout nde N, "f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an"
Initialisation : pour n=1, f(1)=a et a1a^1a1=1 donc ¨P1 est vraie.
Hérédite: Soit un n tel que Pn est vraie alors :
f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
<strong>f(n)a<strong>f(n)a<strong>f(n)a^n=an+1=a^{n+1}=an+1
f(n)f(y)=f(n+y) avec ici y=any=a^ny=an
donc Pn+1 est vraieje pense qu'il y a une erreur dans les lignes en gras...pourtant il faut utiliser le fait que f(x+y)=f(x)f(y)
-
Pour le c) , oui tu dois faire une récurrence
Dans l'hérédité, remplace y par la valeur utile, et écrit avec rigueur ce ce tu veux calculer, car ce que tu as écrit ne démontre rien. ( il n' a que l'emballage )
-
Bbrom2 dernière édition par
f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
f(n+1)=f(n)f(1)=af(n+1)=f(n)f(1)=af(n+1)=f(n)f(1)=a^na=an+1a=a^{n+1}a=an+1
-
oui!
-
Bbrom2 dernière édition par
ok je réécrirai correctement la récurrence sur papier.
d) Soit x un rationnel, donc x=p/q avec p∈N et q∈Z*. Montrer que f(x)=ax
On sait juste que f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
et f(p/q)=ap/qf(p/q)=a^{p/q}f(p/q)=ap/qj'avoue ne pas trop comprendre le sens de la question
-
Tu as démontré que f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an pour n naturel.
Mais, on ne sait pas que f(p/q)=ap/qf(p/q)=a^{p/q}f(p/q)=ap/q :c'est ce qu'il faut que tu démontres.
-
Bbrom2 dernière édition par
On sait que x=p/q et que f(n)=anf(n)=a^nf(n)=an
p=xq et q=p/x c'est tout ce que je peux écrire
-
Je te propose une démonstration possible, avec p ∈ N et q ∈ N*
(Il te restera à voir le cas où q est entier strictement négatif)
Pour Tout X réel et tout Y réel,f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)f(x+y)=f(x)f(y)
donc, pour Y=X :f(2x)=[f(x)]2f(2x)=[f(x)]^2f(2x)=[f(x)]2
En généralisant à q : f(qx)=[f(x)]qf(qx)=[f(x)]^qf(qx)=[f(x)]q ( petite récurrence, pour ça)
Tu peux déduire :
f(x)=[f(qx)]1qf(x)=[f(qx)]^{\frac{1}{q}}f(x)=[f(qx)]q1
En prenantx=pqx=\frac{p}{q}x=qp , tu obtiens :
f(pq)=[f(p)]1qf(\frac{p}{q})=[f(p)]^{\frac{1}{q}}f(qp)=[f(p)]q1
Vu que p est naturel, tu peux uriliser la propriété précedemment démontrée, d'où
f(pq)=[ap]1qf(\frac{p}{q})=[a^p]^{\frac{1}{q}}f(qp)=[ap]q1
donc :
$\fbox{f(\frac{p}{q})=a^{\frac{p}{q}}$
CQFD
Lorque tu auras vu ça de près , essaie de voir comment passer à la même formule avec q entier strictement négatif.
-
Bbrom2 dernière édition par
q appartient aux entiers naturels donc dans l'exercice je n'ai pas besoin de faire le cas où il est négatif. Je vais cependant réfléchir à comment pouvoir le faire
e) On admet qu'il existe une suite (xn(x_n(xn) tel que xnx_nxn tend vers x et f(h) tend vers f(x) quand h tend vers x alors f(xnf(x_nf(xn) tend vers f(x) donc f(x)=axf(x)=a^xf(x)=ax
-
non...
Regarde l'énoncé que tu as écrit: q ∈ Z*
Z est l'ensemble des entiers strictement positifs, nul, strictement négatifs
Z*est l'ensemble des entiers strictement positifs ou strictement négatifs
Il faut donc bien faire le cas où q est entier strictement négatif.
C'est normal, vu que la propriété doit être vraie pour tout x rationnel, avant d'être étendue à tout x réel.
-
Bbrom2 dernière édition par
Merci je vais chercher mais j'ai déjà un bon bout !