Dérivation de fonction-encadrement


  • F

    Re bonjour chère internaute , je fais appelle encore a vous car dans mon devoir maison j'ai un exercice type ou il est écrit : Pour cet exercice , tout trace de recherche sera prise en compte dans l’évaluation. La qualité de la rédaction , des justifications sera importante dans l’évaluation ) , je vous remercie d’avance pour vos conseils , voici l'énoncé :

    Montrer que pour tout x∈ [-5;5]; 7-√2 / 2 ≤ 3 + 1-x/x²+1 ≤ 7+√2 / 2

    Merci encore d'avance à vous.


  • mtschoon

    Bonjour,

    S'il te plait, mets suffisamment de parenthèses pour que l'on comprenne (ou mieux, utilise le latex)


  • F

    Désole , la voici mieux écrite :

    Montrer que pour tout x∈ [-5;5]

    (7-√2) / 2 ≤ 3 + (1-x) / (x²+1) ≤ (7+√2) / 2
    Merci à vous.


  • mtschoon

    Pour faire plus simple, tu peux peut-être commencer à retrancher 3 à chaque membre.

    L'inéquation proposée équivaut à :

    1−22≤1−xx2+1≤1+22\frac{1-\sqrt 2}{2}\le \frac{1-x}{x^2+1}\le \frac{1+\sqrt 2}{2}212x2+11x21+2

    Vu que tu sembles être dans le chapitre relatif à l'étude des fonctions, tu peux étudier la fonction f :

    f(x)=1−xx2+1f(x)=\frac{1-x}{x^2+1}f(x)=x2+11x

    Vu la question, tu peux faire le tableau de variation sur [-5,5] pour t'éviter de chercher les limites à +∞ et -∞ ( sinon, l'intervalle donné ne servirait encore à rien...)


  • F

    D'accord. J'ai dérivé la fonction et je trouve x² -2x- 1 , est-ce bon ?
    Puis quand je fait le tableau de signe j’obtiens -2.4 et 0.4 comme solutions , ensuite j'ai fais les variations de f mais comment faire pour arriver à démontrer ce qu'il faut démontrer (ce que l'exercice demande) ?


  • mtschoon

    f′(x)=x2−2x−1(x2+1)2f'(x)=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2x22x1

    Pour les valeurs qui annulent la dérivée, prends les valeurs exactes (non approchées)

    Lorsque tu auras fait soigneusement le tableau de variations de f sur [-5,5], tu devras comparer le maximum et le minimum de la fonction avec les valeurs de l'encadrement à prouver.


  • F

    Je comprends pas ton raisonnement pour la dérivée , voici le mien :

    f'(x) = -1(x²+1) - (2x (1-x))

    = -x²-1- (2x-2x²)

    = -x²-2x+2x²

    = -x²-2x+2x²


  • mtschoon

    Tu utilises la dérivée de u/v : (u'v-v'u) / v²

    u(x)=1−x u′(x)=−1 v(x)=x2+1 v′(x)=2xu(x)=1-x \ u'(x)=-1 \ v(x)=x^2+1 \ v'(x)=2xu(x)=1x u(x)=1 v(x)=x2+1 v(x)=2x

    f′(x)=(−1)(x2+1)−2x(1−x)(x2+1)2=...=x2−2x−1(x2+1)2f'(x)=\frac{(-1)(x^2+1)-2x(1-x)}{(x^2+1)^2}=...=\frac{x^2-2x-1}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2(1)(x2+1)2x(1x)=...=(x2+1)2x22x1


  • F

    Les valeurs de x j'ai trouvé : -2-√8/2 et -2+√8/2 , et pour le maximum et le minimum je trouve 1/2 pour les deux , c'est bizarre. Imaginons que j'ai bon comment je fais pour les comparer ?


  • mtschoon

    Fais attention aux signes et simplifie

    Ces deux valeurs sont (après simplifications) : 1−21 -\sqrt 212 et 1+21+\sqrt 21+2

    Ensuite , après calculs ( à faire tranquillement et sans erreur !) , tu dois trouver :

    f(1−2)=1+22 f(1+2)=1−22f(1 -\sqrt 2)=\frac{1+\sqrt 2}{2} \ f(1 +\sqrt 2)=\frac{1-\sqrt 2}{2}f(12)=21+2 f(1+2)=212

    Si tu arrives à trouver ces valeurs et si ton tableau de variation est bon, la conclusion est immédiate.

    Maintenant, c'est à toi de compter.


  • F

    Merci beaucoup pour tout ! 😄


  • mtschoon

    De rien.

    Bon courage pour les calculs.


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