polynome minimal
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Ppierresimpore dernière édition par
Bonjour à tous,
aidez moi à résoudre cet exercice :
soit A = (0amp;1amp;1 1amp;0amp;1 0amp;0amp;1)\begin{pmatrix} 0& 1& 1\ 1& 0& 1\ 0& 0& 1\end{pmatrix}(0amp;1amp;1 1amp;0amp;1 0amp;0amp;1)- Déterminer le polynôme minimal de A
- en deduire un calcul rapide de A−1A^{-1}A−1 ; A3A^3A3 ; A−3A^{-3}A−3
je sais que le polynôme minimal divise le polynôme caractéristique mais je ne sais pas comment trouver ce polynôme . on a le polynôme caractéristique
PAP_APA (X)= −(X−1)2-(X-1)^2−(X−1)2(X+1)
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Mmathtous dernière édition par
Bonjour,
Le polynôme minimal ne peut être que :
(X-1)², ou (X-1)(X+1), ou (X-1), ou (X+1).
Tu vérifies qu'aucun n'annule A.
Je veux dire : que A n'en annule aucun !
Donc ici le polynôme minimal est (au signe près) le polynôme caractéristique:
(X-1)²(X+1).
Vérifie mes dires.
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Ppierresimpore dernière édition par
oui, aucun n'annule la matrice .
et la 2ieme question
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Mmathtous dernière édition par
PAP_APA(A) = 0, donc (A-I)²(A+I)=0
c'est-à-dire A³ - A² -A + I = 0
A(-A² + A + I) = I
D'où A−1A^{-1}A−1
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Ppierresimpore dernière édition par
Bonjour, merci j'ai compris