Suite et fonction ln
-
NNola_n dernière édition par
Bonjour, je dois résoudre cet exercice pour la semaine qui arrive et je suis bloqué pour les 2 dernières questions
Soit f(x) = x/ln(x) sur ]1;+∞[
Determiner les limites en 1 et +∞ et variations de f : j'ai trouvé +∞ pour les 2 limites et f est décroissante de 1 a e (1 valeur interdite) puis croissante de e à +∞Ensuite on me donne une suite definie par Uo=9 et Un+1 = f(Un) pour tout entier naturel n
2)a) on demande de placer Uo, U1 et U2 sur l'axe des abscisses et d'en conjecturer ses variations et son comportement : elle semble décroissante
b) montrer par récurrence que Un≥e pour tout n : ça c'est ok
c) calculer Un+1 - Un en déduire les variations de (Un) puis qu'elle converge vers une limite l. : alors je trouve que Un+1 - Un = Un-Un×Ln(Un)/ln(Un)≥0 car Un≥e (c'est juste ?) donc (Un est croissante. Je ne trouve pas la limite je pense que c'est la même que pour la fonction (+∞) mais comme la limite doit être finie ça Cole pas. HELP
d) on admet que l vérifie l=f(l) determiner cette limiteMerci d'avance pour votre aide!
-
mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Bizarre ce que tu écris...
Citation
Soit f(x) = x/ln(x) sur ]-1;+∞[
La fonction ln n'étant définie que pour x > 0, il y a un problème...
En plus, lnx≠0 <=> x≠1Merci de vérifier.
-
NNola_n dernière édition par
Oui erreur de frappe désolé c'est ]1;+∞[
-
mtschoon dernière édition par
C'est mieux ainsi !
2)a) et 2)b) sont justes
2)c) le calcul semble bon mais le signe trouvé est faux
un+1−un=un(1−ln(un))ln(un)u_{n+1}-u_n=\frac{u_n(1-ln(un))}{ln(u_n)}un+1−un=ln(un)un(1−ln(un))
un≥e donc un>0 et ln(un)>0un \ge e\ donc\ un \gt 0\ et\ ln(u_n) \gt 0un≥e donc un>0 et ln(un)>0
De plus,
un≥e donc ln(un)≥ln(e) donc ln(un)≥1 donc (1−ln(un))≤0un \ge e \ donc \ ln(u_n)\ge ln(e) \ donc\ ln(u_n) \ge 1 \ donc\ (1-ln(u_n))\le 0un≥e donc ln(un)≥ln(e) donc ln(un)≥1 donc (1−ln(un))≤0
Bilan : un+1−un≤0u_{n+1}-u_n\le 0un+1−un≤0
Suite (Un) décroissante.
Toute suite décroissante et minorée est convergente, donc la suite (Un) est convergente (vers un réel l )
La limite de la suite n'a rien à voir avec la limite de la fonction.
tu dois résoudre f(l)=l
-
NNola_n dernière édition par
Merci !
Je trouve l=e
-
mtschoon dernière édition par
C'est bon.