Devoir maison : Théorème de Ménélaus

Bonjour a tous!
Je poste ce sujet car je dois rendre un devoir maison pour Jeudi, mais je comprends vraiment pas comment réussir a répondre aux questions. Quelqu'un pourrait m'aider?

L’énoncé du Devoir Maison :

On considère un triangle ABC, et dans la suite, on travaille dans le repère (A, $ab⃗\vec{ab}$ ; $ac⃗\vec{ac}$ ).
On considère les trois points M, N, P tels que :

$m_{a}$ $ma⃗\vec{ma}$ + $m_{b}$ $mb⃗\vec{mb}$ ≠ $0⃗\vec{0}$
$n_{b}$ $nb⃗\vec{nb}$ + $n_{c}$ $nc⃗\vec{nc}$ ≠ $0⃗\vec{0}$
$p_{c}$ $pc⃗\vec{pc}$ + $p_{a}$ $pa⃗\vec{pa}$
$m_{a}$ , $m_{b}$ , $n_{b}$ , $c_{c}$ , $p_{c}$ , $p_{a}$ étant des des nombres fixés tel que $m_{a}$ + $m_{b}$ ≠ 0, $n_{b}$ + $n_{c}$ ≠ 0 et $p_{c}$ + $p_{a}$ ≠ 0

Démontrer que les coordonnées de N sont :
( $nbnb+nc\frac{nb}{nb + nc}$ ; $ncnb+nc\frac{nc}{nb + nc}$ )
Déterminer en fonction des nombres ma, mb, les coordonnées de M.
Déterminer les coordonnées de P.
On suppose que M, N, P sont alignés :
a. Ecrire une condition des nombres d'alignement contenant les nombres $m_{a}$ , $m_{b}$ , $n_{b}$ , $n_{c}$ , $p_{c}$ , $p_{a}$
b. Démontrer que cette condition s'écrit : $m_{a}$ $n_{b}$ $p_{c}$ = - $m_{b}$ $n_{c}$ $p_{a}$
a. Démontrer à l'aide de la relation de Chasles que :
- $am⃗\vec{am}$ = $mama+mb\frac{ma}{ma + mb}$ $ab⃗\vec{ab}$
- $an⃗\vec{an}$ = $nbnb+nc\frac{nb}{nb + nc}$ $ab⃗\vec{ab}$ + $ncnb+nc\frac{nc}{nb + nc}$ $ac⃗\vec{ac}$
- $mn⃗\vec{mn}$ = $ncnb+nc\frac{nc}{nb + nc}$ $ac⃗\vec{ac}$ + $<ahref="http://nb.ma"target="blank"rel="noopenernoreferrer">nb.ma</a>−nc.mbnb+nc\frac{<a href="http://nb.ma" target="_blank" rel="noopener noreferrer">nb.ma</a> - nc.mb}{nb + nc}$ $ab⃗\vec{ab}$
b. On suppose que (MN) et (AC) sont parallèles. En déduire que $n_{b}$ $m_{a}$ = $n_{c}$ $m_{b}$
En quoi les conditions trouvées aux 4b et 5b sont contradictoires?

Merci d'avance!

Alors? Personne pour m'aider?

Bonjour,

Pour t'aider, il faudrait être sûr que l'énoncé est correct...j'en doute un peu...

Merci de relire les 3 premières formules que tu as écrites

Les deux premières se terminent par $≠0⃗\ne \vec{0}$
La dernière n'est visiblement pas terminée...

C'est très bizarre...

Ah oui excusez moi... c'est :

$m_{a}$ $ma⃗\vec{ma}$ + $m_{b}$ $mb⃗\vec{mb}$ = $0⃗\vec{0}$
$n_{b}$ $nb⃗\vec{nb}$ + $n_{c}$ $nc⃗\vec{nc}$ = $0⃗\vec{0}$
$p_{c}$ $pc⃗\vec{pc}$ + $p_{a}$ $pa⃗\vec{pa}$ = $0⃗\vec{0}$

Je sais pas pourquoi j'ai mis "≠"

Et pour le 5) a. aussi, je me suis trompé :

$am⃗\vec{am}$ = $mbma+mb\frac{mb}{ma + mb}$ $ab⃗\vec{ab}$

Piste pour démarrer,

Il faut éviter la relation de Chasles, vu qu'elle est demandée en question 5.
Tu ne dois pas connaître les barycentres, alors, il reste les projections sur les axes de coordonnées.

$\fbox{n_b\vec{nb}+n_c\vec{nc}=\vec{0}}$

En écriavant l'égalité des abscisses (axe des abscisses défini par $(a,ab⃗)(a,\vec{ab})$ :

$n_b(x_b-x_n)+n_c(x_c-x_n)=0$

$n_b(1-x_n)+n_c(0-x_n)=0$

Tu développes et tu isoles $x_N$ pour obtenir la réponse souhaitée.

En écrivant l'égalité des ordonnées (axe des ordonnées défini par $(a,ac⃗)(a,\vec{ac})$ , :

$n_b(y_b-y_n)+n_c(y_c-y_n)=0$

$n_b(0-y_n)+n_c(1-x_n)=0$

Tu développes et tu isoles $y_N$ pour obtenir la réponse souhaitée.

Tu peux utiliser le même principe pour les questions 2 et 3

Ah d'accord merci beaucoup!!
Demain je m'occupe du reste, si j'ai un problème je te recontacterai.

J'aurais besoin d'une petite aide pour le 5)a. Je vois vraiment pas comment faire...
Merci d'avance!

Pour la 5)a), la méthode est imposée : relation de Chasles.
Tu ne peux donc pas utiliser les coordonnées des points trouvées précédemment.

Tu pars de l'égalité de l'énoncé et tu transformes.

$mama⃗+mbmb⃗=0⃗m_a\vec{ma}+m_b\vec{mb}=\vec{0}$

$mama⃗+mb(ma⃗+ab⃗)=0⃗m_a\vec{ma}+m_b(\vec{ma}+\vec{ab})=\vec{0}$

$mama⃗+mbma⃗mb+ab⃗)=0⃗m_a\vec{ma}+m_b\vec{ma}m_b+\vec{ab})=\vec{0}$

$(ma+mb)ma⃗+mbab⃗=0⃗(m_a+m_b)\vec{ma}+m_b\vec{ab}=\vec{0}$

$(ma+mb)ma⃗=−mbab⃗(m_a+m_b)\vec{ma}=-m_b\vec{ab}$

$(ma+mb)am⃗=mbab⃗(m_a+m_b)\vec{am}=m_b\vec{ab}$

$\fbox{\vec{am}=\frac{m_b}{m_a+m_b}\vec{ab}}$

Tu vérifies que cela correspond bien aux coordonnées de M trouvées précédemment.

Tu traites de la même façon les vecteurs suivants.

Ah ouais d'accord! Merci
Par contre juste pour trouver $mn⃗\vec{mn}$ , j'ai un peu du mal.
Je trouve :
$mama⃗+mbmb⃗=nbnb⃗+ncnc⃗(=0⃗)m_{a}\vec{ma} + m_{b}\vec{mb} = n_{b}\vec{nb} + n_{c}\vec{nc} (=\vec{0})$
Je passe la partie de droite à gauche :
$mama⃗+mbmb⃗−nbnb⃗−ncnc⃗m_{a}\vec{ma} + m_{b}\vec{mb} - n_{b}\vec{nb}- n_{c}\vec{nc}$
Avec Chasles, j'ai :
$mama⃗+mbma⃗+mbab⃗−nbna⃗−nbab⃗−ncna⃗−ncac⃗=0⃗m_{a}\vec{ma} + m_{b}\vec{ma} + m_{b}\vec{ab} - n_{b}\vec{na} - n_{b}\vec{ab} - n_{c}\vec{na} - n_{c}\vec{ac} = \vec{0}$
Ensuite je factorise par $ma⃗,na⃗etab⃗\vec{ma}, \vec{na} et \vec{ab}$ , et j'obtiens
$ma⃗(ma+mb)+na⃗(−nb−nc)+ab⃗(mb−nb)=ncac⃗\vec{ma} (m_{a} + m_{b})+ \vec{na}(-n_{b}-n_{c}) + \vec{ab}(m_{b}-n_{b}) = n_{c}\vec{ac}$
Ensuite, je n'arrive pas a trouver le bon résultat en divisant...
Je sais que pour avoir $mn⃗\vec{mn}$ , il faut faire $ma⃗+an⃗\vec{ma} + \vec{an}$ car on a $na⃗\vec{na}$

Ensuite, je ne comprends pas la question 6.
Merci d'avance!

Pour $mn⃗\vec{mn}$ , tu peux écrire tout simplement :

$mn⃗=ma⃗+an⃗\vec{mn}=\vec{ma}+\vec{an}$

Ensuite tu remplaces $ma⃗\vec{ma}$ et $an⃗\vec{an}$ par les expressions que tu viens de trouver

Avant de faire la 6), il faut que tu fasses la 5)b)

Pour la 6), en intégrant l'égalité de la 5)b) dans la 4)b) , en simplifiant , tu dois trouver une contradiction avec l'hypothèse ( du type $p_a+p_c=0$ par exemple, alors que $pa+pc≠0p_a+p_c\ne 0$ )

Ouais effectivement c'est plus simple, mais je trouve :
$mn⃗=nbma−mbnc(ma+mb)(nb+nc)ab⃗+ncnb+ncac⃗\vec{mn} = \frac{n_{b}m_{a}-m_{b}n_{c}}{(m_{a}+m_{b})(n_{b}+n_{c})}\vec{ab} + \frac{n_{c}}{n_{b}+n_{c}}\vec{ac}$
Pourquoi je ne trouve pas la bonne réponse?

Vérifie, en calculant les coordonnées de $mn⃗\vec{mn}$ avec les coordonnées de M et de N, s'il n'y a pas une erreur dans la formule de $mn⃗\vec{mn}$ donnée dans l'énoncé que tu as écrit.

Non, j'ai fais aucune erreur :
$mn⃗=ma⃗+an⃗=−am⃗+an⃗\vec{mn} = \vec{ma} + \vec{an} = -\vec{am} + \vec{an}$

$(\frac{m_{b}}{m_{a}+m_{b}}\vec{ab})+ (\frac{n_{b}}{n_{b}+n_{c}}\vec{ab} + \frac{n_{c}}{n_{b}+n_{c}}\vec{ac})$
= $ab⃗(−mbma+mb+nbnbnc)+ncnb+ncac⃗\vec{ab}(\frac{-m_{b}}{m_{a}+m_{b}}+\frac{n_{b}}{n_{b}n_{c}}) + \frac{n_{c}}{n_{b}+n_{c}}\vec{ac}$
= $ab⃗(−mbnb−mbnc+nbma+nbmb(ma+mb)(nb+nc))+ac⃗(ncnb+nc)\vec{ab}(\frac{-m_{b}n_{b}-m_{b}n_{c}+n_{b}m_{a}+n_{b}m_{b}}{(m_{a}+m_{b})(n_{b}+n_{c})}) + \vec{ac}(\frac{n_{c}}{n_{b}+n_{c}})$
= $ab⃗(nbma−mbnc(ma+mb)(nb+nc))+ac⃗(ncnb+nc)\vec{ab}(\frac{n_{b}m_{a}-m_{b}n_{c}}{(m_{a}+m_{b})(n_{b}+n_{c})}) + \vec{ac}(\frac{n_{c}}{n_{b}+n_{c}})$

Je vois vraiment pas ou est mon errreur.

Je ne vois pas d'erreur.

Vérifie tout de même, si tu ne l'as pas déjà fait, avec les coordonnées trouvées aux points M et N

Si tu trouves pareil des deux façons, c'est que ton énoncé du 5)a) contient une erreur...