Exercice intégrales

Bonjour !
Je suis actuellement bloqué sur un exo bonus d'un DM sur les intégrales...
Le voici :

Soit k>0 un réel fixé. Déterminer les fonctions continues f : ℜ+→ℜ telles que la fonction F définie sur ℜ+ par :

$f(x)=∫xkxf(t)dtf(x)=\int_{x}^{kx}{f(t)dt}$ soit constante.

J'ai un peu réfléchis dessus, voici ce que j'ai fais (c'est sans doute un peu faux...) :

Soit G dérivable sur ℜ+, une primitive de f.

On a :

$f(x)=∫xkxf(t)dt=[g(t)]xkx=g(kx)−g(x)f(x)=\int_{x}^{kx}{f(t)dt} = \left[g(t) \right]_{x}^{kx} = g(kx)-g(x)$

Or, la fonction F est constante, donc : ∃c∈ℜ, F(x)=c

⇒ F'(x)=0
⇔(G(kx)-G(x))'=0
⇔kG'(kx)=G'(x)
⇔kf(kx)=f(x) (car G primitive de f)

Voilà, après je sais plus trop quoi faire...
Pouvez vous m'aider s'il vous plaît

Bonjour,

Ton énoncé me laisse perplexe.
"les fonctions continues f de R+ vers R " ? il ne doit pas y en avoir beaucoup...

Quelques réflexions.

$f(0)=\bigint_0^{k0}f(t)dt=\bigint_0^{0}f(t)dt=0$

Vu que F doit êtreconstante sur R+ , nécessairement F est la fonction identiquement nulle sur R+

$f(x)=0\forall x \in [0,+\infty[\ f(x)=0$

Tu peux déjà déduire quela fonction f identiquement nulle sur R+ convient :

$f(x)=0\forall x \in [0,+\infty[\ f(x)=0$

La question est de savoir s'il y a d'autres fonctions f satisfaisantes.

La propriétéf(x)=kf(kx) que tu as trouvé me parait très intéressante.

Déjà, pour x=0, elle devient : f(0)=0f(k0), donc f(0)=0

Tu peux généraliser cette propriété

f(kx)=kf(kkx)=kf(k²x) donc f(x)=kkf(k²x)=k²f(k²x)

Par récurrence, pour n ≥ 1, tu peux prouver que

$f(x)=k^nf(k^nx)$

En fixant x, et en faisant tendre n vers +∞, suivant k( fais attention), tu dois pouvoir trouver l'expression de f(x)

Bonne recherche.