Matrice inversible


  • B

    Bonsoir à tous,

    J'ai un DS très prochainement et je bloque sur la résolution de cet exercice (j'ai mis des , entre les termes de la matrice pour éviter toute confusion)

    Pour quelles valeurs de a réel, la matrice :
    MaM_aMa=$\begin{pmatrix}1-a , -4 ,-7\3 , -2-a , -3\-3 , 4, 5-a\end{pmatrix}$ est elle non inversible ?

    Pour ces valeurs, résoudre MaM_aMa*$\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}$=$\begin{pmatrix}0\0\0\end{pmatrix}$
    Je pense qu'il faut résoudre le système :
    (1−a)x−4y−7z=x′ 3x+(−2−a)y−3z=y′ −3x+4y+(5−a)z=z′(1-a)x-4y-7z=x' \ 3x+(-2-a)y-3z=y' \ -3x+4y+(5-a)z=z'(1a)x4y7z=x 3x+(2a)y3z=y 3x+4y+(5a)z=z

    mais comment choisir a à chaque étape de résolution ? il faut que le système n'est pas de solutions pour que la matrice ne soit pas inversible ?

    Merci de m'expliquer en détaillant si possible


  • mtschoon

    Bonjour,

    J'ignore ce que dit ton cours, mais le plus simple me semble être d'utiliser le déterminant.

    <strong>Ma<strong>M_a<strong>Ma non inversible <=> Det(MaDet(M_aDet(Ma)=0

    Tu calcules le déterminant.

    Sauf erreur et après factorisation:

    $\text{det(m_a)=-(a-2)(a^2-2a-8)$

    $\text{det(m_a)=0 \leftrightarrow -(a-2)(a^2-2a-8)=0 \leftrightarrow a=2 ou a=-2 ou a=4$

    Tu dois donc résoudre le système pour ces 3 valeurs de a ( et tu trouveras, pour chacune de ces valeurs que le système est indéterminé (infinité de solutions) ouimpossible(aucune solution)


  • B

    et si on m'avait demandé d'inverser cette matrice, comment aurais-je du faire ?


  • mtschoon

    Pour a≠2 ,a≠-2, a≠4, M−1M^{-1}M1 existe

    Par définition :

    m×m−1=m−1×m=i3m\times m^{-1}=m^{-1}\times m = i_3m×m1=m1×m=i3 (système à résoudre )

    Remarque : dans ton cours, tu as peut-être une disposition pratique avec M et I3I_3I3( en triangularisant la matrice avec la méthode de pivot de Gauss, pour trouver M−1M^{-1}M1 )


  • B

    j'ai essayé de résoudre le système mais je ne vois pas comment vous faites pour trouver les valeurs de déterminant...pouvez vous me détailler juste le début ? quelles lignes choisissez vous ?


  • B

    en fait c'est bon j'ai réussi merci


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