Derivabilité


  • F

    Bonjour a tous chère internaute , mon professeur de mathématiques nous as donné un exercice que je n'arrive pas à cerner , pourriez- vous m'aider s'il vous plaît , voici l'énoncé :

    On considère la fonction f définie par :

    f(x) = x/x²+1
    On appelle Cf sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

    1. Démontrer que cette fonction est définie sur R
    2. Déterminer l'équation réduite de la tangente à Cf au point d'abscisse 0.
    3. Démontrer que les tangentes à Cf aux points d'abscisses -3 et 3 sont parallèles.
    4. Démontrer que si l'on trace les tangentes à Cf en deux points d’abscisses opposées, ces tangentes sont parallèles.

    Voila, merci d'avance...


  • mtschoon

    Bonjour,

    Quelques pistes,

    1)pour tout x réel , x²+1 > 0 ( donc x²+1 non nul ) donc fonction est définie sur R

    1. Tu calcules f'(x) (dérivée d'un quotient)

    Sauf erreur, tu trouves

    f′(x)=−x2+1(x2+1)2f'(x)=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}f(x)=(x2+1)2x2+1

    Equation de la tangente :

    y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0)y=f(0)(x0)+f(0)

    Tu comptes

    3)Tu calcules f'(3) et f'(-3) ; tu trouves le même résultat et tu tires la conclusion (car le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente, donc...)

    4)Tu calcules f'(x) et f'(-x) ; tu trouves le même résultat et tu tires la conclusion (car le nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente, donc...)

    Remarque : tu pourrais dire, si tu connais, que la fonction dérivée f' est paire.


  • F

    Merci beaucoup mtschoon !


  • F

    Par contre pour la question 4 , j'arrive pas démontrer que f'(x) et f'(-x) sont égaux. Merci d'avance pour ton aide..


  • mtschoon

    (−x)2=x2(-x)^2=x^2(x)2=x2

    Tu remplaces x par -x

    donc

    f′(−x)=−(−x)2+1((−x)2+1)2=−x2+1(x2+1)2f'(-x)=\frac{-(-x)^2+1}{((-x)^2+1)^2}=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}f(x)=((x)2+1)2(x)2+1=(x2+1)2x2+1


  • F

    Merci beaucoup


  • F

    Excuse moi , j'ai trouvé f'(0) ...


  • mtschoon

    De façon générale, pour trouver l'équation de la tangente au point d'abscisse a :

    y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)y=f(a)(xa)+f(a)

    Effectivement , si on te demande l'équation de la tangente au point d'abscisse 0 , c'est

    y=f′(0)(x−0)+f(0)y=f'(0)(x-0)+f(0)y=f(0)(x0)+f(0)


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