Algèbre linéaire. Surjectivité.


  • P

    Salut tout le monde,

    Bah voila, je ne suis pas entrain de chercher comment résoudre ce problème, c'est déja fait et en classe. le problème c'est que je ne comprend pas la réponse de mon professeur sur la 5ème question, et j'ai du posté tout l'exercice puisque les questions sont interdépendantes. Je serai tellement reconnaissante à la personne qui m’expliquera.

    L'exercice dit soit B=(e1, e2, e3) de la base canonique de R3, f est l'endomorphisme de R3 définit par (x,y,z)=(z+y,x-z,z)
    1)Déterminer Ker(f)
    2)Calculer l'image par f de la base B
    3)Déduire la base de Im(f)
    4)Calculer le rang de f
    5)f est elle surjective?

    La réponse sur la question5: Im(f) est un SEV de R³ et la DimR³=3 donc Im(f)=R³ d'ou f est surjective.

    Merci.


  • mtschoon

    Bonjour,

    La réponse à la question 5 est parfaite .

    Je ne vois pas trop ce qui te gène.

    Tu as dû trouver que (f(e1),f(e2),f(e3)) est une base de Imf , d'où la dimension 3 de Imf
    R3R^{3 }R3est de dimension 3
    Le seul SEV de dimension 3 de R3R^{3 }R3est R3R^3R3 lui même donc Imf=R3Imf=R^3Imf=R3

    Vu que R3R^3R3=Imf (ensemble d'arrivée) , tout triplet (X,Y,Z) de R3R^3R3 (ensemble d'arrivée) est l'image de au moins un triplet (x,y,z) de R3R^3R3 (ensemble de départ)

    C'est le définition même de la surjectivité de f.


  • P

    Aaaah, je sais pas l'avais pas saisi du tout, mais maintenant je vois les choses.
    Une toute petite chose, si la dimension de l'image est strictement inférieure à celle de l'espace d'arrivée, l'application n'est pas surjective, mais si la dimension de l'image est strictement supérieur à celle de l’espacé d'arrivée?


  • mtschoon

    Imf est un SEV de R3R^3R3 .
    Sa dimension ne peut pas lui être strictement supérieure.


  • P

    Ah d'accord, merciiiiiiiiiiiii.


  • mtschoon

    De rien .


  • P

    Je m’excuse, mais je voudrai bien me renseigner sur quelques propositions dans notre cours des applications linéaires

    On a:

    1)u est injective ssi l'image d'une famille libre de E est une famille libre de F.
    Dans ce cas là, si l'image de la base de E est une famille libre de F, est ce qu'on peut parler d'une relation d'injectivité?

    2)Aussi, si Dim(E)=Dim(F) cela veut dire que u est bijective.
    Dans ce cas, si on parle d'une AL de R² vers R² est ce qu'on peut tous simplement dire qu'elle est bijective?


  • mtschoon

    Je vais « tenter » de te donner quelques précisions.

    NOTATIONS :

    Soit E un E.V de dimension finie p avec pour base B : (e1(e_1(e1,e2e_2e2,…,epe_pep)
    Soit F un E.V de dimension finie n
    Soit f une application linéaire de E vers F
    Soit Im(f) l’image de E par f
    Soit B’=f(B)=(f(e1=f(B)=(f(e_1=f(B)=(f(e1),f(e2f(e_2f(e2),…f(epf(e_pf(ep))
    Soit rg= rang de f = rang de B’= dimension de Im(f)

    **f injective < = > B’ est libre dans F < = > rg = p

    f surjective < = > B’ est génératrice dans F < = > rg = n

    f bijective < = > B’ est une base de F < = > rg = p =n**


  • P

    Aaaah, d'accord d’accord, merciiii infiniment !


  • mtschoon

    De rien ( et essaie d'avoir des informations sur ton énoncé de probabilité, si tu peux évidemment )


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