Montrer des inégalités/ égalités sur modules de nombres complexes

Bonjour
j ai quelques difficultés sur la fin d'un exercice avec les recurences:

on cosidere la suite (Zn) à termes complexes definies par Zo= 1+i et pour tout entier naturel n par Zn+1= (Zn+ module de Zn) /3 pour tout entier naturel n on pose Zn+ An +iBn où An est la partie réelle de Zn et Bn est la partie imaginaire de Zn

on rappele que tous nombres complexes Z et Z': module de (Z+Z')≤module de Z + module de Z'
Montrer que pour tout entier naturel N module de Zn+1≤ (2 x (module de Zn))/3
on pose que pour tout entier naturel n Un=module de Zn. montrer par recurence que pour tout entier naturel n : Un≤ ((2/3)^n )x√2

→j ai deja fait les condition initiales c est a dire ou n= o pour l initialisation j obtient ansi pour U0= √2 ce qui est bien plus petit que ((2/3)^n )x√2 c ar quelque sois n il sera toujour superieur ou egal (n=0) a √2
mais apres j arrive pas a l'heredite

5)montrer que pour tout entier naturel n :module de An≤ Un
→la aussi j ai trouve l initialisation ou module de A0=1 et U0= √2
mais j arrive pas non plus a l herideté
merci d avance de bien vouloir m aider

Bonjour,

Piste pour la 3)

Utilise la propriété indiquée et la réponse est presque automatique.

$zn+1=zn+∣zn∣3z_{n+1}=\frac{z_n+|z_n|}{3}$

$∣zn+1∣≤∣zn∣+∣∣zn∣∣3|z_{n+1}|\le \frac{|z_n|+||z_n||}{3}$

or $z_n||=|z_n|$

donc

$zn+1≤∣zn∣+∣zn∣3z_{n+1}\le \frac{|z_n|+|z_n|}{3}$

donc ............................( tu termines )

Piste pour la 4) , relative àl'hérédité

D'après la question 3) :

$∣zn+1∣≤2∣zn∣3|z_{n+1}| \le \frac{2|z_n|}{3}$

c'est à dire :

$un+1≤2un3u_{n+1} \le \frac{2u_n}{3}$

Par hypothèse de l'hérédité :

$un≤(23)n×2u_n\le (\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2$

donc :

$un+1≤23((23)n×2)u_{n+1} \le \frac{2}{3}((\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2)$

donc : .........................................( tu termines )

Pour la 5), tu n'as pas besoin de récurrence

Fais directement le calcul.

bonjour merci bien sa ma bien aider par contre
pour la 4 il me demandent si la suite converge ou pas et de determiné la limite eventuelle

je sais qu il faut d abort prouver qu elle est croissante avec Un+1 - Un et utiliser le theoreme des convergence monotone mais j avoue que pour trouver la limite en ayant une inegalité je galere un peu car normalement on utilisait l. Alors j ai pensait faire avec lim (2/3)^n x √2 mais je ne sait pas si c est juste

et pour la 5 j ai pas bien compris ce qu il fallait faire faire le calcule c est a dire ?
merci d avance

Pour la convergence de la suite $U_n$ ) pense au théorème des deux gendarmes .

$0≤un≤(23)n×20\le u_n \le (\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2$

cherche $lim⁡n→+∞(23)n×2\lim_{n\to +\infty}(\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2$

Tu pourras en déduire que la suite $U_n$ ) converge vers ....

a oui c est 0 la reponse etait bete finalement
j'ai une derniere hesitation a vous faire part :
a un autre exercice si la reponce est vrai ou fausse et de justifier
il y a une question ou ils disent

Dans un plan muni d'un repere orthonormé, l'ensemble des points M d'affixe Z verifiant: module de Z-i= module de Z+1 est une droite

je serait tenté de repondre vrai car un module est une longueur d'un point vers un autre de ce fait il s agit d'une droite mais apres je ne suis pas tres sur
merci d'avance

C'est bien ça pour la 4)

As-tu fait la question 5) ???

S'il te plait, ouvre une autre discussion pour ton autre exercice, sinon c'est le désordre.

Ok j ouvrirait une autre conversation pour l exo

par contre j ai pas fait la 5) car j ai pas bien compris ce que vous insinuer par faire directement le calcul

Pour la 5) tu fais une démonstration sans récurrence .

$un=∣zn∣=(an)2+(bn)2u_n=|z_n|=\sqrt{(a_n)^2+(b_n)^2}$

Or ,

$(an)2+(bn)2≥(an)2(a_n)^2+(b_n)^2 \ge (a_n)^2$

donc

$(an)2+(bn)2≥(an)2\sqrt{(a_n)^2+(b_n)^2}\ge \sqrt{(a_n)^2}$

donc

$un≥............u_n \ge ............$

Ok en tout cas merci beaucoup pour toute cette aide que vous avez fourni sa m a vraiment aidé
merci encore

De rien (et ouvre une discussion pour ton autre exercice , si tu as besoin )

une derniere question pour la 4) quand je cherche si la suite est convergente je fait
Un= module de Zn et Un+1=module de Zn+1
soit Un+1 -Un = module de Zn+1 - Zn
soit (2 module de Zn)/3 -Zn
= -1 module de Zn/3
de ce fait la suite est decroissante mais c est en desacord avec l equation car normalement elle devrait etre croissante puisque Un est majoré par $2/3)^n$ x √2
je pense que j ai du me tromper quelque part...

Le fait que (Un) soit majorée n'a rien à voir avec le sens de variation de la suite ( croissante ou décroissante )

(Un) majorée par M veut dire que pour tout n , Un ≤ M

Je me suis mal exprime en faite comme dans la question ils me disent en deduire que Un converge
donc on voit que Un est majoree par $2/3)^n$ x√2 donc si je veux que Un converge d apres la propriete il faut que la suite soit croissante et donc que mon Un+1 - Un soit positif
or je trouve un Un+1 - Un negatif ce n est pas coherent avec le "en deduireque Un converge"c eqt sa qui me coince

Tu confonds.

Toute suite croissante et majorée est convergente , mais la réciproque n'est pas vraie !
Une suite convergente n'est pas forcément majorée.

Comme je te l'ai déjà dit , raisonne par encadrement en utilisant le théorème des 2 gendarmes.

$0≤un≤(23)n×20\le u_n \le (\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2$

$lim⁡n→+∞(23)n×2=0\lim_{n\to +\infty}(\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2=0$

Donc :

$lim⁡n→+∞un=0\lim_{n\to +\infty}u_n=0$

En faite si j ai bien compris il ne faut pas faire le un+1 -Un
car si on dermine la limiteon prouve par la meme occasion qu elle converge c est sa ?

Pour la 5) (car ils demandent aussi la lim) j ai fait la meme chose que dans la 4 avec le theoreme des gendarmes comme on connait la lim de Un e je trouve que que la lim de an fait 0

Tu fais $U$ _{n+1} $U_n$ lorsqu'on te demande le sens de variation de la suite .

Une suite est convergente si (et seulement) si elle a une limite finie.

Pour la 5) , ton idée est bonne mais il faut passer par | $a_n$ |

$\le |a_n| \le u_n$

Vu que $lim⁡n→+∞un=0\lim_{n\to +\infty}u_n=0$ , alors :

$lim⁡n→+∞∣an∣=0\lim_{n\to +\infty}|a_n|=0$

donc

$lim⁡n→+∞an=0\lim_{n\to +\infty}a_n=0$

A oui c est vrai que pour la 4 il me demande juste la limite vers quoi un tend
en tout cas merci d avoir bien prit votre temp pour tout m expliquer

Si tu as bien compris , c'est parfait !