Devoir maison sur la fonction dérivée

Bonjour, j'ai cet exercice lors d'un devoir maison fm(x) -> $x2+mx−1\frac{x^2+m}{x-1}$ définie sur R - {1}, à tout nombre réel m.

Calculer la dérivée : J'ai utilisé la formule ( $uv\frac{u}{v}$ )' = $u′v−v′uv2\frac{u'v - v'u}{v^2}$ , donc $2x(x−1)−(x2+m)(x−1)2\frac{2x(x-1)-(x^2 +m)}{(x-1)^2}$

J'obtient, en simplifiant, $x2−2x−mx2−2x+1\frac{x^2-2x-m}{x^2-2x+1}$ . Je voudrais tout d'abord savoir si j'ai fais une erreur, pour mieux avancer. Vous l'aurez deviné, la suite consiste à, en fonction de m, définir le sens de variation de fm.

Je vous remercie d'avance pour votre aide, ou du moins votre lecture. (et bonne année)

Bonsoir Zartant,

La dérivée est juste.
Il n'est pas utile de développer le dénominateur.

Je vous remercie de votre réponse, pour finir, j'aimerais savoir si mon raisonnement est juste :

Ils demandent de, selon les variations de m, dresser le tableau de variation de fm.
Je pense qu'il faut bien sûr utilisé le signe de la fonction fm', on peut donc utilisé le numérateur x²-2x-m. Si on utilise le déterminant, on trouve : -4-4m, ce qui veut dire que si m > -1, fm' = 0 n'as pas de solution car déterminant négatif, autrement dit, le signe de fm' est celui de a, donc positive. La fonction fm est donc strictement croissante.

Si m = -1, alors le déterminant = 0. Ce qui indique une solution double, mais pas de changement de signe. La fonction fm' à donc le signe de a, elle est donc positive. La fonction fm est donc croissante.

Si m < -1, alors le déterminant est positif, ce qui indique deux solution ou fm' est nulle, ainsi qu'un changement de signe. On peut trouver les solutions :

x1 = $−4−−4−4m2→−2m\frac{-4-\sqrt{-4-4m}}{2}\rightarrow -2\sqrt{m}$
x2 = $−4+−4−4m2→2m\frac{-4+\sqrt{-4-4m}}{2}\rightarrow 2\sqrt{m}$

Puis ensuite le tableau de signe. J'aimerais savoir si j'ai fait une erreur de calcul, ou une faute bête, voir même si mon raisonnement est faux.

Bonsoir Zartant,

Pourquoi -4 - 4m au discriminant ?
La simplification sur x1 et x2 est fausse.

On est d'accord que si le numérateur = 0, la fonction égal zéro, non ?
Donc on n'a qu'à trouvé les solutions du numérateur = 0 pour avoir le signe de f' (et donc le sens de variation de fm).

Ici le déterminant est 4-4m, si on considère que le trinôme qu'on veut calculer est le numérateur. (J'avais écris -4, c'est une erreur je pense)

Et sinon, je vois où j'ai eu faux au niveau des simplifications. Merci de votre aide !