Spé maths nombres de Sophie germain


  • D

    Bonjour,
    Pour n entier naturel, on considere le nombre N=n4N=n^4N=n4+4
    on se demande si il existe des valeurs de n pour lesquelles N est premier

    1)montrer que si n est un multiple de 10,N est un multiple de 4
    2)en étudiant le dernier chiffre de N en fonction de celui de n, demontrer que N est un multiple de 5 si et seulement si n n'est pas un multiple de 5

    Je n'y arrive pas Merci d'avance pour votre aide


  • mtschoon

    Bonjour,

    Pistes à développer et à expliciter en détail ( *ce ne sont que des pistes *)

    n=10kn=10kn=10k

    donc

    n=(10k)4+4=10000k+4=4×(.........)n=(10k)^4+4=10000k+4=4\times (.........)n=(10k)4+4=10000k+4=4×(.........)

    2)Tu appliques la méthode indiquée dans l'énoncé.

    Soit u le chiffre des unités de n et U le chiffre des unités de N

    Tu traites les 10 cas possibles :
    u= 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9

    Dans chaque cas , tu cherches le chiffre U des unités de N puis ensuite tu tires la conclusion demandée

    1er cas : u=0

    Rien à faire dans ce cas car n est multiple de 10 et d'après la question 1 , N est multiple de 4

    2eme cas : u=1

    n peut s'écrire p+1 donc n^4+1=(p+1)^4+1=......+5
    U=5 donc N est multiple de 5

    3eme cas : u=2

    n peut s'écrire p+2 donc n^4+1=(p+2)^4+1=......+20
    U=0 doncN est multiple de 5

    etc

    Bons calculs .


  • T

    salut

    pour la b) j'ai utilisé les congruences

    par exemple pour le deuxième cas si le dernier chiffre est 1 on à n congrue à 1 modulo 10

    donc : n≡1 [10]
    n^4≡1^4≡1 [10]
    n^4+4≡1+4≡5 [10]

    plus rapide et plus compréhensible et la prof de spécialité math sera plus contente 😉


  • mtschoon

    @Tanguy59 Bonjour,

    J'ignore si @dodo16 avait vu les congruences lorsqu'il a posé la question, mais comme il a posté il y a plus de 5 ans, je ne pense pas qu'il nous le dise...

    Traiter le b) avec les congruences (vu que tu les as étudiées en cours) est une très bonne idée.


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