Où faut-il placer un point pour que la longueur soit minimale?

Bonsoir, je me retrouve ici après de multiple recherche, mais je n'ai pu trouver ma réponse.. Je travaille sur cet exercice depuis quelques heures déjà et ne voit aucune réponse donc, l'exercice est:

ABC est un triangle rectangle en B, tel que AB= 3 et BC=4.
Les points D, E et f appartiennent respectivement aux segments [AB], [AC] et [BC].
BDEF est un rectangle.
Où doit-on placer le point E pour que la longueur DF soit minimale?

VOICI donc l'exercice qui me pose autant de mal, si seulement quelqu'un pouvait m'aider, je le remercierais mille fois..

Bonsoir Aloha,

pose AE = x, puis exprime DE et EF en fonction de x (Thalès)
tu calcules ensuite DF et tu cherches le minimum.

Mais me semble t-il que pour utiliser le théorème de Thalès, des droites doivent être parallèle alors qu'ici, sur le dessin elles ne le sont pas..

$fichier math$

Pour Thales, (EF) parallèle à (AB) et (ED) parallèle à (BC).

Ah oui, désolée je n'avais pas regardé dans ce sens là.. Merci beaucoup en tout cas pour votre aide!

Si AE = x
X/5 = DE/4, soit DE = ....
(5-x)/5 = EF/3, soit EF = ...

Puis DF en utilisant la propriété de Pythagore
...

Non là, par contre j'ai pas suivis pour le théorème de Thales..

CE/CA = CF/CB = EF/AB
Non?

Je développe :
En utilisant la propriété de Pythagore on trouve AC = 5
Si AE = x
Triangle AED et ACB les droites (DE) et (BC) sont parallèles
AE/AC = DE/BC
X/5 = DE/4, soit DE = ....

Triangle CEF et CAB, les droites (EF) et (AB) sont parallèles
CE/CA = EF/AB
(5-x)/5 = EF/3, soit EF = ...

Puis DF en utilisant la propriété de Pythagore
...

D'accord je comprend mieux, en tout cas milles merci pour votre aide..
Donc DE=4x/5
Et EF=3(5-x)/3?

Tu trouves DE = 4x/5,
EF = 3(5-x)/5

puis DF² = DE² + EF²
DF² = 16x²/25 + 9(5-x)²/25
= 1/25 [16x² + 9(5-x)²]

Ecris la forme canonique du terme entre crochet et ensuite tu peux conclure.

La forme canonique..?

DF² = 16x²/25 + 9(5-x)²/25
= 1/25 [16x² + 9(5-x)²]
= 1/25 [16x² + 225 -90x +9x²]
= 1/25 [25x² - 90x +225]
= 1/25 [(5x-9)²+144] forme canonique

Cette expression est minimale si (5x-9) = 0, soit si x = 9/5 = 1,8.

Bonne nuit

Mille merci encore une fois, bonne nuit à vous

Non 9/5